Номер 354, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 354, страница 100.

Условие.

354 Упростите выражение:

a) $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$;

б) $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$;

г) $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$;

д) $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$;

е) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$;

ж) $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$;

з) $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$;

и) $2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$, вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения $4 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$.

Сложим коэффициенты при одинаковых корнях: $(3+2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{45}$.

Представим число 45 в виде произведения $9 \cdot 5$. Тогда $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Подставим полученное значение в выражение: $3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.

Выполним вычитание: $(3-2)\sqrt{5} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

в) Чтобы упростить выражение $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{48}$.

Представим число 48 в виде произведения $16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в выражение: $4\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$.

Выполним вычитание: $(4-10)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $-6\sqrt{3}$.

г) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{50}$.

Представим число 50 в виде произведения $25 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученное значение в выражение: $4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$.

Выполним вычитание: $(4-5)\sqrt{2} = -1 \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

д) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{32}$ и $\sqrt{50}$.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение: $\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые: $(1-4+5)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

е) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{27}$ и $\sqrt{48}$.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

$2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в выражение: $2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые: $(2-3+8)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

Ответ: $7\sqrt{3}$.

ж) Чтобы упростить выражение $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$, вынесем множители из-под знака корня во всех членах.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение: $2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые: $(2+6-6)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

з) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$, вынесем множители из-под знака корня во всех членах.

$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в выражение: $4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые (только те, что содержат $\sqrt{5}$): $(4-3)\sqrt{5} - 4\sqrt{3} = \sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

и) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{28}$ и $\sqrt{24}$.

$2\sqrt{28} = 2\sqrt{4 \cdot 7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.

$0,5\sqrt{24} = 0,5\sqrt{4 \cdot 6} = 0,5 \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Подставим полученные значения в выражение: $4\sqrt{7} - \sqrt{6} + 2\sqrt{7}$.

Приведем подобные слагаемые (только те, что содержат $\sqrt{7}$): $(4+2)\sqrt{7} - \sqrt{6} = 6\sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{7} - \sqrt{6}$.