Номер 356, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 356, страница 100.

Условие.

Преобразуйте выражение, используя формулы сокращённого умножения (356—357).

356 a) $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3});$

б) $(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1);$

в) $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5});$

г) $(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3});$

д) $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3});$

е) $(\sqrt{10}+\sqrt{11})(\sqrt{11}-\sqrt{10}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Выражение $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$ представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 2$ и $b = \sqrt{3}$.
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: 1

б) Выражение $(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$ также преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{6}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$.
Ответ: 5

в) Выражение $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Ответ: 2

г) В выражении $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$ используем ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 4$ и $b = \sqrt{3}$.
$(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$.
Ответ: 13

д) Выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ преобразуется по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
Ответ: -1

е) В выражении $(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$ множители не записаны в стандартном виде для формулы разности квадратов. Воспользуемся переместительным свойством сложения в первой скобке: $(\sqrt{10} + \sqrt{11}) = (\sqrt{11} + \sqrt{10})$.
Теперь выражение имеет вид $(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$, что соответствует формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{10}$.
$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{10})^2 = 11 - 10 = 1$.
Ответ: 1