Номер 360, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 360, страница 100.

Условие.

360 Найдите значения выражений $ \frac{xy}{x+y} $ и $ \frac{x-y}{xy} $ при:

а) $x = \sqrt{2}, y = \sqrt{8};$

б) $x = 2 - \sqrt{3}, y = 2 + \sqrt{3};$

в) $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}, y = \sqrt{6} + \sqrt{3};$

г) $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}, y = \sqrt{5} - \sqrt{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо подставить данные значения x и y в выражения $\frac{xy}{x+y}$ и $\frac{x-y}{xy}$ и выполнить вычисления.

а)

Дано: $x = \sqrt{2}$, $y = \sqrt{8}$. Упростим значение $y$: $y = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Сначала вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$:
$x+y = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$xy = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
Теперь подставим найденные значения в выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
Произведение $xy$ уже найдено и равно 4.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\frac{x-y}{xy} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

б)

Дано: $x = 2 - \sqrt{3}$, $y = 2 + \sqrt{3}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x+y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$
$xy = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
Подставим найденные значения в выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{4}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
Произведение $xy$ равно 1.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-2\sqrt{3}}{1} = -2\sqrt{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{4}$; $\frac{x-y}{xy} = -2\sqrt{3}$.

в)

Дано: $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$, $y = \sqrt{6} + \sqrt{3}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$x+y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$
$xy = (\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$
Подставим найденные значения в выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
Произведение $xy$ равно 3.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{\sqrt{6}}{4}$; $\frac{x-y}{xy} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

г)

Дано: $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$
$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
Подставим найденные значения в выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Произведение $xy$ равно 3.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$; $\frac{x-y}{xy} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.