Номер 364, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 364, страница 101.

Условие.

364 Из приведённых ниже выражений выберите выражения, равные $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\sqrt{\frac{3}{2}}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\frac{3}{\sqrt{6}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $, мы сначала упростим исходное выражение, а затем поочередно сравним с ним каждое из предложенных.

Основной способ упрощения — избавление от иррациональности (квадратного корня) в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Итак, мы будем сравнивать каждое выражение с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.

$ \frac{\sqrt{6}}{2} $

Это выражение идентично тому, которое мы получили после преобразования исходного выражения. Следовательно, они равны.

Ответ: выражение равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{3}{2} $

Сравним $ \frac{3}{2} $ с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $. Для этого достаточно сравнить их числители: $ 3 $ и $ \sqrt{6} $. Возведем оба числа в квадрат: $ 3^2 = 9 $, а $ (\sqrt{6})^2 = 6 $. Поскольку $ 9 \neq 6 $, то и $ 3 \neq \sqrt{6} $. Значит, выражения не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Сравним $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ с $ \frac{\sqrt{6}}{2} $. Так как числители $ \sqrt{3} \neq \sqrt{6} $, то и выражения не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \sqrt{\frac{2}{3}} $

Используя свойство корня $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, запишем выражение как $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $. Это выражение является обратным к исходному $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $, поэтому они не равны.

Ответ: выражение не равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

$ \frac{3}{\sqrt{6}} $

Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} $

Теперь сократим дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Полученный результат $ \frac{\sqrt{6}}{2} $ совпадает с нашим преобразованным исходным выражением.

Ответ: выражение равно $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.