Номер 357, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 357, страница 100.

Условие.

357 a) $(1 - \sqrt{5})^2;$

В) $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2;$

Д) $(5 - \sqrt{5})^2 + 5\sqrt{5};$

б) $(\sqrt{10} - 2)^2;$

Г) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2;$

е) $(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 - 17.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $(1 - \sqrt{5})^2$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 1$ и $b = \sqrt{5}$.
$(1 - \sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5$.
Складываем целые числа: $1 + 5 = 6$.
Результат: $6 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $6 - 2\sqrt{5}$.

б) Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(\sqrt{10} - 2)^2$, где $a = \sqrt{10}$ и $b = 2$.
$(\sqrt{10} - 2)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2 + 2^2 = 10 - 4\sqrt{10} + 4$.
Складываем целые числа: $10 + 4 = 14$.
Результат: $14 - 4\sqrt{10}$.
Ответ: $14 - 4\sqrt{10}$.

в) Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5$.
Складываем целые числа: $3 + 5 = 8$.
Результат: $8 - 2\sqrt{15}$.
Ответ: $8 - 2\sqrt{15}$.

г) Для раскрытия скобок в $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2$.
Складываем целые числа: $7 + 2 = 9$.
Результат: $9 + 2\sqrt{14}$.
Ответ: $9 + 2\sqrt{14}$.

д) Сначала раскроем скобки в $(5 - \sqrt{5})^2$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(5 - \sqrt{5})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 - 10\sqrt{5} + 5 = 30 - 10\sqrt{5}$.
Теперь добавим оставшуюся часть выражения: $(30 - 10\sqrt{5}) + 5\sqrt{5}$.
Приводим подобные слагаемые: $-10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$.
Результат: $30 - 5\sqrt{5}$.
Ответ: $30 - 5\sqrt{5}$.

е) Раскроем скобки в $(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2$ по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 + 2\sqrt{66} + 6 = 17 + 2\sqrt{66}$.
Теперь вычтем 17 из полученного результата: $(17 + 2\sqrt{66}) - 17$.
$17 - 17 = 0$.
Результат: $2\sqrt{66}$.
Ответ: $2\sqrt{66}$.