Страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

312 Какое приращение получает переменная $y$, где $y = \sqrt{x}$, при изменении $x$:

а) от 0 до 10;

б) от 10 до 20;

в) от 20 до 30;

г) от 100 до 110?

Дайте приближённый ответ, используя калькулятор.

Совет. Результаты оформите в виде таблицы.

Приращение переменной $y$, обозначаемое $\Delta y$, при изменении переменной $x$ от $x_1$ до $x_2$ для функции $y = f(x)$ вычисляется по формуле $\Delta y = y_2 - y_1 = f(x_2) - f(x_1)$. В данном случае задана функция $y = \sqrt{x}$. Для вычисления приближенных значений будем использовать калькулятор, округляя результаты до трех знаков после запятой.

а) Найдем приращение функции при изменении $x$ от 0 до 10.

Начальное значение $x_1 = 0$, конечное значение $x_2 = 10$.
Находим соответствующие значения $y$:
$y_1 = \sqrt{x_1} = \sqrt{0} = 0$.
$y_2 = \sqrt{x_2} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
Приращение функции: $\Delta y = y_2 - y_1 \approx 3.162 - 0 = 3.162$.

Ответ: $\approx 3.162$

б) Найдем приращение функции при изменении $x$ от 10 до 20.

Начальное значение $x_1 = 10$, конечное значение $x_2 = 20$.
Находим соответствующие значения $y$:
$y_1 = \sqrt{x_1} = \sqrt{10} \approx 3.162$.
$y_2 = \sqrt{x_2} = \sqrt{20} \approx 4.472$.
Приращение функции: $\Delta y = y_2 - y_1 \approx 4.472 - 3.162 = 1.310$.

Ответ: $\approx 1.310$

в) Найдем приращение функции при изменении $x$ от 20 до 30.

Начальное значение $x_1 = 20$, конечное значение $x_2 = 30$.
Находим соответствующие значения $y$:
$y_1 = \sqrt{x_1} = \sqrt{20} \approx 4.472$.
$y_2 = \sqrt{x_2} = \sqrt{30} \approx 5.477$.
Приращение функции: $\Delta y = y_2 - y_1 \approx 5.477 - 4.472 = 1.005$.

Ответ: $\approx 1.005$

г) Найдем приращение функции при изменении $x$ от 100 до 110.

Начальное значение $x_1 = 100$, конечное значение $x_2 = 110$.
Находим соответствующие значения $y$:
$y_1 = \sqrt{x_1} = \sqrt{100} = 10$.
$y_2 = \sqrt{x_2} = \sqrt{110} \approx 10.488$.
Приращение функции: $\Delta y = y_2 - y_1 \approx 10.488 - 10 = 0.488$.

Ответ: $\approx 0.488$

Согласно совету в задании, оформим результаты в виде таблицы:

РАССУЖДАЕМ (313–314) При выполнении упражнений воспользуйтесь рисунком 2.30.

313 Сравните числа:

а) $a$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$;

б) $a^2$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$.

а)

Чтобы сравнить числа $a$ и $\sqrt{a}$, рассмотрим два случая, используя как алгебраический, так и графический методы, на который указывает условие задачи.

Если $0 < a < 1$:

Поскольку $a$ и $\sqrt{a}$ являются положительными числами, мы можем сравнить их квадраты. Квадрат числа $a$ — это $a^2$, а квадрат числа $\sqrt{a}$ — это $a$. Сравним $a^2$ и $a$. Так как $0 < a < 1$, умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$, при этом знак неравенства сохранится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, что дает $a^2 < a$.Поскольку $a^2 < a$ и функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел, то из этого следует, что $\sqrt{a^2} < \sqrt{a}$. Так как $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $a < \sqrt{a}$.Графически это означает, что на интервале $(0, 1)$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика прямой $y=x$.

Если $a > 1$:

Аналогично сравним квадраты чисел: $a^2$ и $a$. Так как по условию $a > 1$, умножим это неравенство на положительное число $a$: $a \cdot a > 1 \cdot a$, что дает $a^2 > a$.Из $a^2 > a$ и возрастания функции $y=\sqrt{x}$ следует, что $\sqrt{a^2} > \sqrt{a}$, а значит $a > \sqrt{a}$.Графически это означает, что на интервале $(1, +\infty)$ график прямой $y=x$ лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a > \sqrt{a}$.

б)

Чтобы сравнить числа $a^2$ и $\sqrt{a}$, рассмотрим два случая.

Если $0 < a < 1$:

Сравним квадраты этих положительных чисел: $(a^2)^2=a^4$ и $(\sqrt{a})^2=a$. Теперь сравним $a^4$ и $a$.Так как $0 < a < 1$, то при возведении в большую степень число уменьшается. Имеем цепочку неравенств: $a > a^2 > a^3 > a^4$. Отсюда следует, что $a^4 < a$.Поскольку $(a^2)^2 < (\sqrt{a})^2$ и основания $a^2$ и $\sqrt{a}$ положительны, то $a^2 < \sqrt{a}$.Графически, на интервале $(0, 1)$ для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 < x < \sqrt{x}$, поэтому $a^2 < \sqrt{a}$.

Если $a > 1$:

Снова сравним квадраты чисел: $a^4$ и $a$. Так как $a > 1$, то при возведении в большую степень число увеличивается. Имеем цепочку неравенств: $a < a^2 < a^3 < a^4$. Отсюда следует, что $a^4 > a$.Поскольку $(a^2)^2 > (\sqrt{a})^2$ и основания $a^2$ и $\sqrt{a}$ положительны, то $a^2 > \sqrt{a}$.Графически, на интервале $(1, +\infty)$ для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 > x > \sqrt{x}$, поэтому $a^2 > \sqrt{a}$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a^2 < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a^2 > \sqrt{a}$.

314 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$;

б) $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$.

а)

Чтобы расположить в порядке возрастания числа $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$, необходимо их сравнить. Поскольку все числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Порядок между квадратами будет таким же, как и между самими числами.

Найдем квадрат каждого числа:

• Первое число: $(0,5)^2 = 0,25$
• Второе число: $(\sqrt{0,5})^2 = 0,5$
• Третье число: $(0,5^2)^2 = (0,25)^2 = 0,0625$

Теперь сравним полученные значения: $0,0625 < 0,25 < 0,5$.

Так как квадраты чисел соотносятся именно так, то и исходные числа будут расположены в том же порядке: $0,5^2 < 0,5 < \sqrt{0,5}$.

Этот результат соответствует общему правилу: для любого положительного числа $x$, которое меньше единицы ($0 < x < 1$), справедливо неравенство $x^2 < x < \sqrt{x}$.

Ответ: $0,5^2; 0,5; \sqrt{0,5}$.

б)

Чтобы расположить в порядке возрастания числа $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$, можно воспользоваться общим правилом для чисел, которые больше единицы.

Для любого числа $x > 1$ справедливо неравенство: $\sqrt{x} < x < x^2$.

Поскольку в данном случае $x = 12,5$ и $12,5 > 1$, мы можем сразу записать числа в порядке возрастания: $\sqrt{12,5} < 12,5 < 12,5^2$.

Для проверки можно оценить приблизительные значения этих чисел:

• $\sqrt{12,5}$: так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то значение $\sqrt{12,5}$ находится в интервале от 3 до 4.
• $12,5$: остается без изменений.
• $12,5^2 = 12,5 \cdot 12,5 = 156,25$.

Сравнивая эти значения (число между 3 и 4; 12,5; 156,25), мы убеждаемся в правильности установленного порядка.

Ответ: $\sqrt{12,5}; 12,5; 12,5^2$.

315 a) Постройте график зависимости $y = -\sqrt{x}$, заполнив предварительно следующую таблицу:

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

$-\sqrt{x}$: (пустые ячейки)

б) При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\sqrt{-x}$?

Постройте график зависимости $y = \sqrt{-x}$.

a)

Для построения графика функции $y = -\sqrt{x}$ сначала заполним таблицу значений. Область определения этой функции — $x \ge 0$, так как выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. Вычислим значения $y$ для данных значений $x$.

Теперь построим график, используя ключевые точки из таблицы с целочисленными координатами: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(4, -2)$, $(9, -3)$. График функции $y = -\sqrt{x}$ является ветвью параболы, которая симметрична графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси Ox.

Ответ: Таблица заполнена, график построен.

б)

Выражение с квадратным корнем $\sqrt{-x}$ имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно. То есть, должно выполняться неравенство:

$-x \ge 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 0$

Следовательно, выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл при всех значениях $x$ меньших или равных нулю.

Для построения графика функции $y = \sqrt{-x}$ составим таблицу значений для $x \le 0$, выбирая $x$ так, чтобы из $-x$ можно было легко извлечь корень.

Построим график по точкам $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-4, 2)$, $(-9, 3)$. График функции $y = \sqrt{-x}$ является ветвью параболы, симметричной графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy.

Ответ: Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл при $x \le 0$. График функции $y = \sqrt{-x}$ построен.

316 ВЕРНО или НЕВЕРНО

Даны точки A(12; 4), B(8; 2), C(17; 5).

Верно ли, что график зависимости $y=\sqrt{x}$ пересекает отрезки AB и AC и не пересекает отрезок BC?

Для ответа на вопрос необходимо проверить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ каждый из трех отрезков: AB, AC и BC. Сначала определим положение заданных точек A(12; 4), B(8; 2) и C(17; 5) относительно этого графика.

Точка с координатами $(x_0, y_0)$ находится:

- выше графика $y=\sqrt{x}$, если $y_0 > \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 > x_0$ для $y_0 > 0$);

- ниже графика, если $y_0 < \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 < x_0$ для $y_0 > 0$);

- на графике, если $y_0 = \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 = x_0$).

Проверка положения точек

Точка A(12; 4):
Сравним $y_A^2$ и $x_A$. Имеем $y_A^2 = 4^2 = 16$ и $x_A = 12$. Так как $16 > 12$, точка A находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

Точка B(8; 2):
Сравним $y_B^2$ и $x_B$. Имеем $y_B^2 = 2^2 = 4$ и $x_B = 8$. Так как $4 < 8$, точка B находится ниже графика $y = \sqrt{x}$.

Точка C(17; 5):
Сравним $y_C^2$ и $x_C$. Имеем $y_C^2 = 5^2 = 25$ и $x_C = 17$. Так как $25 > 17$, точка C находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

Теперь проанализируем пересечение с каждым отрезком.

Пересечение с отрезком AB

Точка A находится выше графика, а точка B — ниже. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является непрерывной, отрезок, соединяющий две точки по разные стороны от графика, обязательно его пересечет. Следовательно, отрезок AB пересекает график функции.

Пересечение с отрезком AC

Обе точки, A и C, находятся выше графика. В этом случае отрезок может как пересекать, так и не пересекать график. Чтобы это выяснить, найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C, и проверим наличие точек пересечения с кривой $y = \sqrt{x}$.

Коэффициент наклона прямой AC: $k = \frac{5 - 4}{17 - 12} = \frac{1}{5}$.

Уравнение прямой: $y - 4 = \frac{1}{5}(x - 12)$, что дает $y = \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} + 4 = \frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$.

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$\sqrt{x} = \frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{5}x + \frac{8}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}(x^2 + 16x + 64)$

$25x = x^2 + 16x + 64$

$x^2 - 9x + 64 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 81 - 256 = -175$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая AC не пересекает график $y = \sqrt{x}$. Следовательно, и отрезок AC не пересекает график.

Пересечение с отрезком BC

Точка B находится ниже графика, а точка C — выше. Аналогично случаю с отрезком AB, из-за непрерывности функции $y=\sqrt{x}$ отрезок BC пересекает ее график.

Итоговый вывод

Мы установили, что:

- график пересекает отрезок AB;

- график не пересекает отрезок AC;

- график пересекает отрезок BC.

В вопросе утверждается, что график пересекает отрезки AB и AC и не пересекает отрезок BC. Наши выводы противоречат этому утверждению. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

317 Постройте в координатной плоскости график зависимости

$y^2 = x.$

Для построения графика зависимости $y^2 = x$ проанализируем данное уравнение. Заметим, что левая часть уравнения, $y^2$, не может быть отрицательной ($y^2 \ge 0$). Следовательно, правая часть, $x$, также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Это означает, что весь график будет расположен в правой полуплоскости координатной системы (справа от оси $Oy$ или на ней).

Уравнение $y^2 = x$ не является функцией вида $y = f(x)$, так как одному значению $x > 0$ может соответствовать два значения $y$. Чтобы это увидеть, выразим $y$ через $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

$y = \pm\sqrt{x}$

Таким образом, исходное уравнение описывает совокупность двух графиков:

• график функции $y = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь, расположенная в первой координатной четверти, где $y \ge 0$);
• график функции $y = -\sqrt{x}$ (нижняя ветвь, расположенная в четвертой координатной четверти, где $y \le 0$).

График $y=-\sqrt{x}$ является зеркальным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Совокупность этих двух графиков представляет собой параболу, симметричную относительно оси $Ox$.

Для точного построения графика составим таблицу значений. Удобнее выбирать значения для $y$ и вычислять для них $x$ по формуле $x = y^2$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим искомый график. Это парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке (0, 0). Осью симметрии параболы является ось абсцисс ($Ox$), а её ветви направлены вправо, в сторону увеличения $x$.

Ответ: Графиком зависимости $y^2 = x$ является парабола с вершиной в точке (0, 0), осью симметрии которой является ось $Ox$, и ветвями, направленными вправо (в сторону положительных значений $x$).