Номер 316, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у = √x. Глава 2. Квадратные корни - номер 316, страница 90.

Условие.

316 ВЕРНО или НЕВЕРНО

Даны точки A(12; 4), B(8; 2), C(17; 5).

Верно ли, что график зависимости $y=\sqrt{x}$ пересекает отрезки AB и AC и не пересекает отрезок BC?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для ответа на вопрос необходимо проверить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ каждый из трех отрезков: AB, AC и BC. Сначала определим положение заданных точек A(12; 4), B(8; 2) и C(17; 5) относительно этого графика.

Точка с координатами $(x_0, y_0)$ находится:

- выше графика $y=\sqrt{x}$, если $y_0 > \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 > x_0$ для $y_0 > 0$);

- ниже графика, если $y_0 < \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 < x_0$ для $y_0 > 0$);

- на графике, если $y_0 = \sqrt{x_0}$ (что эквивалентно $y_0^2 = x_0$).

Проверка положения точек

Точка A(12; 4):
Сравним $y_A^2$ и $x_A$. Имеем $y_A^2 = 4^2 = 16$ и $x_A = 12$. Так как $16 > 12$, точка A находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

Точка B(8; 2):
Сравним $y_B^2$ и $x_B$. Имеем $y_B^2 = 2^2 = 4$ и $x_B = 8$. Так как $4 < 8$, точка B находится ниже графика $y = \sqrt{x}$.

Точка C(17; 5):
Сравним $y_C^2$ и $x_C$. Имеем $y_C^2 = 5^2 = 25$ и $x_C = 17$. Так как $25 > 17$, точка C находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

Теперь проанализируем пересечение с каждым отрезком.

Пересечение с отрезком AB

Точка A находится выше графика, а точка B — ниже. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является непрерывной, отрезок, соединяющий две точки по разные стороны от графика, обязательно его пересечет. Следовательно, отрезок AB пересекает график функции.

Пересечение с отрезком AC

Обе точки, A и C, находятся выше графика. В этом случае отрезок может как пересекать, так и не пересекать график. Чтобы это выяснить, найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C, и проверим наличие точек пересечения с кривой $y = \sqrt{x}$.

Коэффициент наклона прямой AC: $k = \frac{5 - 4}{17 - 12} = \frac{1}{5}$.

Уравнение прямой: $y - 4 = \frac{1}{5}(x - 12)$, что дает $y = \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} + 4 = \frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$.

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$\sqrt{x} = \frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{5}x + \frac{8}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}(x^2 + 16x + 64)$

$25x = x^2 + 16x + 64$

$x^2 - 9x + 64 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 81 - 256 = -175$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что прямая AC не пересекает график $y = \sqrt{x}$. Следовательно, и отрезок AC не пересекает график.

Пересечение с отрезком BC

Точка B находится ниже графика, а точка C — выше. Аналогично случаю с отрезком AB, из-за непрерывности функции $y=\sqrt{x}$ отрезок BC пересекает ее график.

Итоговый вывод

Мы установили, что:

- график пересекает отрезок AB;

- график не пересекает отрезок AC;

- график пересекает отрезок BC.

В вопросе утверждается, что график пересекает отрезки AB и AC и не пересекает отрезок BC. Наши выводы противоречат этому утверждению. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.