Номер 313, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у = √x. Глава 2. Квадратные корни - номер 313, страница 90.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (313–314) При выполнении упражнений воспользуйтесь рисунком 2.30.

313 Сравните числа:

а) $a$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$;

б) $a^2$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сравнить числа $a$ и $\sqrt{a}$, рассмотрим два случая, используя как алгебраический, так и графический методы, на который указывает условие задачи.

Если $0 < a < 1$:

Поскольку $a$ и $\sqrt{a}$ являются положительными числами, мы можем сравнить их квадраты. Квадрат числа $a$ — это $a^2$, а квадрат числа $\sqrt{a}$ — это $a$. Сравним $a^2$ и $a$. Так как $0 < a < 1$, умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$, при этом знак неравенства сохранится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, что дает $a^2 < a$.Поскольку $a^2 < a$ и функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных чисел, то из этого следует, что $\sqrt{a^2} < \sqrt{a}$. Так как $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $a < \sqrt{a}$.Графически это означает, что на интервале $(0, 1)$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика прямой $y=x$.

Если $a > 1$:

Аналогично сравним квадраты чисел: $a^2$ и $a$. Так как по условию $a > 1$, умножим это неравенство на положительное число $a$: $a \cdot a > 1 \cdot a$, что дает $a^2 > a$.Из $a^2 > a$ и возрастания функции $y=\sqrt{x}$ следует, что $\sqrt{a^2} > \sqrt{a}$, а значит $a > \sqrt{a}$.Графически это означает, что на интервале $(1, +\infty)$ график прямой $y=x$ лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a > \sqrt{a}$.

б)

Чтобы сравнить числа $a^2$ и $\sqrt{a}$, рассмотрим два случая.

Если $0 < a < 1$:

Сравним квадраты этих положительных чисел: $(a^2)^2=a^4$ и $(\sqrt{a})^2=a$. Теперь сравним $a^4$ и $a$.Так как $0 < a < 1$, то при возведении в большую степень число уменьшается. Имеем цепочку неравенств: $a > a^2 > a^3 > a^4$. Отсюда следует, что $a^4 < a$.Поскольку $(a^2)^2 < (\sqrt{a})^2$ и основания $a^2$ и $\sqrt{a}$ положительны, то $a^2 < \sqrt{a}$.Графически, на интервале $(0, 1)$ для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 < x < \sqrt{x}$, поэтому $a^2 < \sqrt{a}$.

Если $a > 1$:

Снова сравним квадраты чисел: $a^4$ и $a$. Так как $a > 1$, то при возведении в большую степень число увеличивается. Имеем цепочку неравенств: $a < a^2 < a^3 < a^4$. Отсюда следует, что $a^4 > a$.Поскольку $(a^2)^2 > (\sqrt{a})^2$ и основания $a^2$ и $\sqrt{a}$ положительны, то $a^2 > \sqrt{a}$.Графически, на интервале $(1, +\infty)$ для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 > x > \sqrt{x}$, поэтому $a^2 > \sqrt{a}$.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a^2 < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a^2 > \sqrt{a}$.