Номер 307, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 307, страница 87.

Условие.

307 Упростите:

а) $(\sqrt{8})^2$;

б) $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2$;

в) $(\sqrt{5})^4$;

г) $(\sqrt{3\sqrt{2}})^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае $a=8$.

Следовательно, $(\sqrt{8})^2 = 8$.

Ответ: $8$

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt{a})^2 = a$. Здесь в роли $a$ выступает выражение $2\sqrt{3}$.

Таким образом, $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2 = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

в) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степени $x^4 = (x^2)^2$.

$(\sqrt{\sqrt{5}})^4 = ((\sqrt{\sqrt{5}})^2)^2$

Сначала упростим внутреннее выражение. По определению квадратного корня, $(\sqrt{\sqrt{5}})^2 = \sqrt{5}$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(\sqrt{5})^2$.

И снова, по определению квадратного корня, $(\sqrt{5})^2 = 5$.

Ответ: $5$

г) Упростим это выражение аналогично предыдущему пункту, представив степень 4 как возведение в квадрат дважды.

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^4 = ((\sqrt{3\sqrt{2}})^2)^2$

Сначала вычислим выражение в скобках. По свойству $(\sqrt{a})^2 = a$, где $a = 3\sqrt{2}$, получаем:

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^2 = 3\sqrt{2}$

Теперь нужно возвести результат в квадрат. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Ответ: $18$