Номер 305, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 305, страница 87.

Условие.

305 Решите уравнение, воспользовавшись определением арифметического квадратного корня (если корни есть, сделайте проверку):

а) $\sqrt{x-5}=2;$

б) $\sqrt{x+4}=1;$

в) $7+\sqrt{x}=3;$

г) $\sqrt{x+16}-4=0;$

д) $\sqrt{x^2-36}=8;$

е) $\sqrt{x^2+20}=4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\sqrt{x-5} = 2$

Согласно определению арифметического квадратного корня, уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе, состоящей из уравнения $A = B^2$ и неравенства $B \ge 0$.

В данном случае $B=2$, и условие $2 \ge 0$ выполнено. Поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-5})^2 = 2^2$

$x-5 = 4$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 4 + 5$

$x = 9$

Проверка:

Подставим найденный корень $x=9$ в исходное уравнение:

$\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $9$

б) $\sqrt{x+4} = 1$

Правая часть уравнения равна $1$, что удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+4})^2 = 1^2$

$x+4 = 1$

Решим уравнение:

$x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверка:

Подставим $x=-3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $-3$

в) $7 + \sqrt{x} = 3$

Сначала выразим корень из уравнения:

$\sqrt{x} = 3 - 7$

$\sqrt{x} = -4$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ должен быть неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Так как в полученном уравнении корень приравнивается к отрицательному числу ($-4$), оно не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней

г) $\sqrt{x+16} - 4 = 0$

Выразим корень из уравнения:

$\sqrt{x+16} = 4$

Правая часть уравнения равна $4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+16})^2 = 4^2$

$x+16 = 16$

Решим уравнение:

$x = 16 - 16$

$x = 0$

Проверка:

Подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{0+16} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $0$

д) $\sqrt{x^2-36} = 8$

Правая часть уравнения равна $8$, что удовлетворяет условию $8 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2-36})^2 = 8^2$

$x^2-36 = 64$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$

Проверка:

При $x = 10$: $\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

При $x = -10$: $\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $10; -10$

е) $\sqrt{x^2+20} = 4$

Правая часть уравнения равна $4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2+20})^2 = 4^2$

$x^2+20 = 16$

Решим полученное уравнение:

$x^2 = 16 - 20$

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Так как левая часть уравнения неотрицательна, а правая отрицательна, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней