Номер 299, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 299, страница 86.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (299–300)

299 a) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.27). Выразите из этой формулы радиус круга.

б) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.28). Выразите из этой формулы радиус большого круга $R$ и радиус маленького круга $r$.

Рис. 2.28

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В данном пункте, судя по формулировке вопроса ("выразите... радиус круга" в единственном числе), предполагается, что закрашенной фигурой на рис. 2.27 является круг. Обозначим его радиус как $r$. Формула для вычисления площади $S$ такого круга имеет вид:

$S = \pi r^2$

где $S$ — это площадь круга, $r$ — его радиус, а $\pi$ — математическая константа.

Чтобы выразить радиус $r$ из этой формулы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим обе части равенства $S = \pi r^2$ на $\pi$, чтобы выделить $r^2$:

$r^2 = \frac{S}{\pi}$

2. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем только арифметический (положительный) корень:

$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = \pi r^2$. Формула для выражения радиуса: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

б) Закрашенная фигура, показанная на рис. 2.28, является кольцом. Площадь $S$ этого кольца можно найти как разность площадей большого круга (с радиусом $R$) и малого круга (с радиусом $r$).

Площадь большого круга вычисляется как $S_R = \pi R^2$.
Площадь малого круга вычисляется как $S_r = \pi r^2$.

Площадь закрашенной части $S$ равна их разности:

$S = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$

Для удобства вынесем общий множитель $\pi$ за скобки, получив окончательную формулу для площади кольца:

$S = \pi (R^2 - r^2)$

Теперь выразим из полученной формулы радиусы большого и маленького кругов.

Выражение радиуса большого круга R:

1. Возьмем формулу площади $S = \pi (R^2 - r^2)$ и разделим обе части на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

2. Чтобы выразить $R^2$, перенесем $r^2$ в левую часть уравнения (сменив знак):

$R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $R$ (радиус — положительная величина):

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Выражение радиуса маленького круга r:

1. Вернемся к уравнению $\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$.

2. На этот раз выразим $r^2$. Для этого перенесем $r^2$ влево, а $\frac{S}{\pi}$ вправо:

$r^2 = R^2 - \frac{S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $r$ (радиус — положительная величина):

$r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = \pi (R^2 - r^2)$. Формула для радиуса большого круга: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$. Формула для радиуса маленького круга: $r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$.