Номер 296, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 296, страница 85.

Условие.

296 АНАЛИЗИРУЕМ Даны уравнения:

$x^2 = 3$, $x^2 = -144$, $x^2 = \frac{4}{9}$, $x^2 = 144$, $x^2 = 0$, $x^2 = -3$.

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;

б) имеют два рациональных корня;

в) имеют два иррациональных корня;

г) имеют один корень;

д) не имеют корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи проанализируем каждое из данных уравнений вида $x^2 = a$. Общий принцип решения таких уравнений в множестве действительных чисел таков:

- Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. Эти корни будут рациональными, если $a$ является полным квадратом рационального числа, и иррациональными в противном случае.

- Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

- Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Проведем анализ каждого уравнения:

1. Уравнение $x^2 = 3$. Здесь $a=3$, что больше нуля. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Поскольку 3 не является полным квадратом, корни иррациональные.

2. Уравнение $x^2 = -144$. Здесь $a=-144$, что меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

3. Уравнение $x^2 = \frac{4}{9}$. Здесь $a=\frac{4}{9}$, что больше нуля. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $x = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$. Оба корня являются рациональными числами.

4. Уравнение $x^2 = 144$. Здесь $a=144$, что больше нуля. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{144} = 12$ и $x = -\sqrt{144} = -12$. Оба корня являются целыми, а значит, и рациональными числами.

5. Уравнение $x^2 = 0$. Здесь $a=0$. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

6. Уравнение $x^2 = -3$. Здесь $a=-3$, что меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, выберем соответствующие уравнения для каждого пункта.

а) имеют два корня

Уравнение имеет два корня, если правая часть уравнения (число $a$) положительна. Из данного списка уравнений этому условию удовлетворяют те, у которых $a > 0$.

Ответ: $x^2 = 3, x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

б) имеют два рациональных корня

Уравнение имеет два рациональных корня, если $a$ является положительным числом и при этом полным квадратом рационального числа. Из нашего анализа этому условию соответствуют два уравнения.

Ответ: $x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

в) имеют два иррациональных корня

Уравнение имеет два иррациональных корня, если $a$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа. Этому условию соответствует одно уравнение из списка.

Ответ: $x^2 = 3$.

г) имеют один корень

Уравнение имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю ($a=0$). Этому условию удовлетворяет только одно уравнение.

Ответ: $x^2 = 0$.

д) не имеют корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом ($a < 0$). В нашем списке есть два таких уравнения.

Ответ: $x^2 = -144, x^2 = -3$.