Номер 302, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 302, страница 86.

Условие.

302 Найдите корни уравнения и сделайте проверку, подставив их в уравнение:

а) $(x - 4)^2 = 2;$

б) $(x + 1)^2 = 3;$

в) $(2 - x)^2 = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $(x - 4)^2 = 2$.

Чтобы найти $x$, сначала извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x - 4 = \sqrt{2}$ или $x - 4 = -\sqrt{2}$

Теперь решим каждое из этих двух линейных уравнений относительно $x$.

Из первого уравнения получаем первый корень: $x_1 = 4 + \sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем второй корень: $x_2 = 4 - \sqrt{2}$.

Проверка:

Подставим каждый корень в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

1. Для $x_1 = 4 + \sqrt{2}$:

$((4 + \sqrt{2}) - 4)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Равенство $2 = 2$ является верным.

2. Для $x_2 = 4 - \sqrt{2}$:

$((4 - \sqrt{2}) - 4)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$.

Равенство $2 = 2$ также является верным.

Оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{2}$, $x_2 = 4 - \sqrt{2}$.

б)

Дано уравнение: $(x + 1)^2 = 3$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 1 = \sqrt{3}$ или $x + 1 = -\sqrt{3}$

Находим корни, решая каждое уравнение.

Первый корень: $x_1 = -1 + \sqrt{3}$.

Второй корень: $x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Проверка:

1. Для $x_1 = -1 + \sqrt{3}$:

$((-1 + \sqrt{3}) + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

$3 = 3$. Верно.

2. Для $x_2 = -1 - \sqrt{3}$:

$((-1 - \sqrt{3}) + 1)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

$3 = 3$. Верно.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: $x_1 = -1 + \sqrt{3}$, $x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

в)

Дано уравнение: $(2 - x)^2 = 5$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$2 - x = \sqrt{5}$ или $2 - x = -\sqrt{5}$

Теперь выразим $x$ из каждого уравнения.

Из первого уравнения: $-x = \sqrt{5} - 2$, откуда $x_1 = 2 - \sqrt{5}$.

Из второго уравнения: $-x = -\sqrt{5} - 2$, откуда $x_2 = 2 + \sqrt{5}$.

Проверка:

1. Для $x_1 = 2 - \sqrt{5}$:

$(2 - (2 - \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

$5 = 5$. Верно.

2. Для $x_2 = 2 + \sqrt{5}$:

$(2 - (2 + \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 - \sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$.

$5 = 5$. Верно.

Оба корня являются верными.

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{5}$, $x_2 = 2 + \sqrt{5}$.