Номер 375, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 375, страница 102.

Условие.

375 a) Выберите выражение, равное $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$.

1) $\sqrt{7} - 3$ 2) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ 3) $3 - \sqrt{7}$

б) Выберите выражение, равное $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$.

1) $\sqrt{6} - 2$ 2) $\sqrt{2} - \sqrt{6}$ 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 16$ и $2ab = 6\sqrt{7}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{7}$.
Проверим возможные пары чисел. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{7}$.
Тогда $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$. Это соответствует первому уравнению.
Следовательно, подкоренное выражение можно записать как:
$16 - 6\sqrt{7} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 7 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2$.
Теперь извлечем корень, помня, что $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $3$ и $\sqrt{7}$.
Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$, а $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, а значит, выражение $3 - \sqrt{7}$ положительно.
Таким образом, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Полученное выражение соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) $3 - \sqrt{7}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$, используем тот же метод — представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Преобразуем член с корнем к виду $2ab$: $4\sqrt{3} = 2 \cdot (2\sqrt{3})$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 8$ и $ab = 2\sqrt{3}$.
Чтобы найти $a$ и $b$, заметим, что $2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$. Нам нужны два числа, произведение которых равно $\sqrt{12}$, а сумма их квадратов равна 8.
Попробуем $a=\sqrt{6}$ и $b=\sqrt{2}$.
Их произведение $ab = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Это соответствует второму условию.
Сумма их квадратов $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$. Это соответствует первому условию.
Значит, подкоренное выражение можно записать как:
$8 - 4\sqrt{3} = 6 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$.
Поскольку $6 > 2$, то $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, а значит, выражение $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ положительно.
Таким образом, $|\sqrt{6} - \sqrt{2}| = \sqrt{6} - \sqrt{2}$.
Полученное выражение соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$.