Номер 379, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 379, страница 103.

Условие.

379 РАССУЖДАЕМ

На какое выражение нужно умножить данный двучлен, чтобы получившееся произведение не содержало радикалов? Проверьте себя, выполнив умножение:

1) $(2 + \sqrt{3}) \cdot \dots$;

2) $(2\sqrt{5} - 1) \cdot \dots$;

3) $(\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot \dots$;

4) $(x + a\sqrt{y}) \cdot \dots$;

5) $\sqrt{m} + \sqrt{n}$;

6) $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Каков общий приём выполнения этого задания?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы избавиться от радикала в выражении $(2 + \sqrt{3})$, его необходимо умножить на сопряженное ему выражение, которым является $(2 - \sqrt{3})$. При умножении используется формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, что позволяет избавиться от корня.
Проверка умножением:
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(2 - \sqrt{3})$.

2) Для двучлена $(2\sqrt{5} - 1)$ сопряженным является выражение $(2\sqrt{5} + 1)$.
Проверка умножением:
$(2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = (4 \cdot 5) - 1 = 20 - 1 = 19$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(2\sqrt{5} + 1)$.

3) Для двучлена $(\sqrt{7} - \sqrt{5})$ сопряженным является выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$.

4) Для двучлена $(x + a\sqrt{y})$ сопряженным является выражение $(x - a\sqrt{y})$.
Проверка умножением:
$(x + a\sqrt{y})(x - a\sqrt{y}) = x^2 - (a\sqrt{y})^2 = x^2 - a^2y$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $(x - a\sqrt{y})$.

5) Для двучлена $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ сопряженным является выражение $\sqrt{m} - \sqrt{n}$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $\sqrt{m} - \sqrt{n}$.

6) Для двучлена $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ сопряженным является выражение $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Проверка умножением:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
Полученное произведение не содержит радикалов.
Ответ: нужно умножить на выражение $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Каков общий приём выполнения этого задания?
Общий приём для решения этой задачи — умножение исходного двучлена на сопряженное ему выражение.
Сопряженным для выражения вида $(A + B)$ является выражение $(A - B)$.
Сопряженным для выражения вида $(A - B)$ является выражение $(A + B)$.
Этот метод основан на формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$. Применение этой формулы позволяет избавиться от знака квадратного корня (радикала), поскольку возведение корня в квадрат дает подкоренное выражение, например, $(\sqrt{x})^2 = x$. В результате произведение становится рациональным числом (или выражением, не содержащим радикалов).