Номер 384, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 2. Квадратные корни. 2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни - номер 384, страница 104.

Условие.

384 Упростите выражение:

а) $\sqrt{81a^2}$, если $a < 0$;

б) $\sqrt{24x^2}$, если $x > 0$;

в) $\sqrt{0.16a^2c^2}$, если $a < 0, c < 0$;

г) $\sqrt{8m^2n^2}$, если $m < 0, n > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{81a^2} $ при условии $ a < 0 $, воспользуемся свойством квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $.

$ \sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2} = 9 \cdot |a| $

Поскольку по условию $ a < 0 $, то модуль отрицательного числа $ |a| $ равен противоположному ему числу, то есть $ |a| = -a $.

Подставим это в наше выражение:

$ 9 \cdot |a| = 9 \cdot (-a) = -9a $

Ответ: $ -9a $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{24x^2} $ при условии $ x > 0 $, сначала вынесем множитель из-под знака корня для числа 24.

$ 24 = 4 \cdot 6 $.

Теперь применим свойство корня из произведения и тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $:

$ \sqrt{24x^2} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{x^2} = 2\sqrt{6} \cdot |x| $

По условию $ x > 0 $, следовательно, $ |x| = x $. Подставим это в выражение:

$ 2\sqrt{6} \cdot |x| = 2\sqrt{6} \cdot x = 2x\sqrt{6} $

Ответ: $ 2x\sqrt{6} $

в) Для упрощения выражения $ \sqrt{0,16a^2c^2} $ при условии $ a < 0 $ и $ c < 0 $, используем свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $ для каждого множителя под корнем.

$ \sqrt{0,16a^2c^2} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{c^2} = 0,4 \cdot |a| \cdot |c| $

По условию $ a < 0 $, поэтому $ |a| = -a $. Также по условию $ c < 0 $, поэтому $ |c| = -c $.

Подставим значения модулей в выражение:

$ 0,4 \cdot |a| \cdot |c| = 0,4 \cdot (-a) \cdot (-c) = 0,4ac $

Ответ: $ 0,4ac $

г) Для упрощения выражения $ \sqrt{8m^2n^2} $ при условии $ m < 0 $ и $ n > 0 $, вынесем множитель из-под знака корня и применим тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $.

$ \sqrt{8m^2n^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot n^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^2} = 2\sqrt{2} \cdot |m| \cdot |n| $

Теперь раскроем модули, учитывая знаки переменных. По условию $ m < 0 $, значит $ |m| = -m $. По условию $ n > 0 $, значит $ |n| = n $.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$ 2\sqrt{2} \cdot |m| \cdot |n| = 2\sqrt{2} \cdot (-m) \cdot n = -2mn\sqrt{2} $

Ответ: $ -2mn\sqrt{2} $