Номер 388, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 388, страница 104.

Условие.

388 ИССЛЕДУЕМ

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, \ldots$

2) Проверьте равенства: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Составьте несколько аналогичных равенств.

3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, ...$

Для нахождения закономерности проанализируем n-й член последовательности, который обозначим как $a_n$. Каждый член последовательности является смешанным числом.

Целая часть n-го члена равна $n+1$.
Дробная часть n-го члена имеет вид $\frac{c_n}{d_n}$, где числитель $c_n$ также равен $n+1$.
Знаменатели $d_n$ образуют последовательность: 3, 8, 15, 24, ... Можно заметить, что эта последовательность описывается формулой $d_n = (n+1)^2-1$.
Проверим:
для $n=1$: $d_1 = (1+1)^2-1 = 4-1 = 3$
для $n=2$: $d_2 = (2+1)^2-1 = 9-1 = 8$
для $n=3$: $d_3 = (3+1)^2-1 = 16-1 = 15$
для $n=4$: $d_4 = (4+1)^2-1 = 25-1 = 24$

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $a_n = (n+1)\frac{n+1}{(n+1)^2-1}$.

Найдем следующие три члена, которые соответствуют значениям $n=5, n=6, n=7$.
Для $n=5$: $a_5 = (5+1)\frac{5+1}{(5+1)^2-1} = 6\frac{6}{36-1} = 6\frac{6}{35}$.
Для $n=6$: $a_6 = (6+1)\frac{6+1}{(6+1)^2-1} = 7\frac{7}{49-1} = 7\frac{7}{48}$.
Для $n=7$: $a_7 = (7+1)\frac{7+1}{(7+1)^2-1} = 8\frac{8}{64-1} = 8\frac{8}{63}$.

Ответ: $6\frac{6}{35}, 7\frac{7}{48}, 8\frac{8}{63}$.

2) Проверьте равенства: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$. Составьте несколько аналогичных равенств.

Проверим каждое равенство, преобразуя смешанные числа в неправильные дроби и упрощая выражения.

Первое равенство: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
Левая часть: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
Правая часть: $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
Равенство верно.

Второе равенство: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$
Левая часть: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.
Правая часть: $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.
Равенство верно.

Третье равенство: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$
Левая часть: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 15 + 4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.
Правая часть: $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.
Равенство верно.

Аналогичные равенства можно составить, используя следующие члены последовательности, найденной в пункте 1:

$\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$
$\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$
$\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$

Ответ: все заданные равенства верны; примеры аналогичных равенств: $\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$, $\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$, $\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$.

3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

На основе выявленной закономерности, общее равенство можно записать в следующем буквенном виде:
$\sqrt{a\frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$, где $a$ – любое целое число, большее 1.
Поскольку смешанное число $x\frac{y}{z}$ равно сумме $x + \frac{y}{z}$, равенство можно представить так:
$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$

Доказательство:
Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.
Левая часть (Л.Ч.):
$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a(a^2-1) + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3 - a + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.
Правая часть (П.Ч.):
$a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$. Так как по условию $a > 1$, то $a$ — положительное число, и его можно внести под знак корня, возведя в квадрат:
$a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.
Левая и правая части тождества равны (Л.Ч. = П.Ч.), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство в буквенном виде: $\sqrt{a\frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$ для любого целого $a>1$. Доказательство приведено выше.