Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упростите выражение (402–404).

402 а) $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$; б) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, для которых выполняются два условия:

1) $a^2 + b^2 = 27$

2) $2ab = 10\sqrt{2}$

Из второго уравнения находим, что $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы проверить наше предположение:

$a^2 + b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$.

Условие выполняется. Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде полного квадрата:

$27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению и извлечем корень:

$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}|$.

Так как $5 + \sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.

$\sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2}$.

Ответ: $5 + \sqrt{2}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ поступим аналогично: представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия:

1) $a^2 + b^2 = 9$

2) $2ab = 4\sqrt{5}$

Из второго уравнения получаем, что $ab = 2\sqrt{5}$. Предположим, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

Проверим первое условие, подставив наши значения $a$ и $b$:

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Условие выполняется. Значит, подкоренное выражение можно представить в виде:

$9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем корень из этого выражения:

$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}|$.

Так как $2 + \sqrt{5}$ — положительное число, модуль можно убрать.

$\sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $2 + \sqrt{5}$

403 a) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;

б) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}};$

в) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}};$

г) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$.

а) Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ используется формула сокращенного умножения для квадрата суммы или разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Мы ищем представление подкоренного выражения в виде $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x + y \pm 2\sqrt{xy}$.

В данном случае, для $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$, нам нужно найти два числа $x$ и $y$, такие что их сумма $x+y=7$, а их произведение $xy=10$.

Методом подбора находим, что такими числами являются $5$ и $2$, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Следовательно, мы можем переписать выражение под корнем:

$7 + 2\sqrt{10} = 5 + 2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$.

Аналогично пункту а), мы ищем числа $x$ и $y$, для которых $x+y=7$ и $xy=10$. Это числа $5$ и $2$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$7 - 2\sqrt{10} = 5 + 2 - 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}|$.

Так как $5>2$, то $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ положительна. Поэтому модуль можно опустить.

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$.

Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=8$ и $xy=15$.

Методом подбора находим, что это числа $5$ и $3$, так как $5+3=8$ и $5 \cdot 3=15$.

Перепишем подкоренное выражение:

$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$.

Аналогично пункту в), используем числа $x=5$ и $y=3$, так как $x+y=8$ и $xy=15$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}|$.

Так как $5>3$, то $\sqrt{5}>\sqrt{3}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ положительна. Следовательно, модуль можно опустить.

$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

404 a) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$;

б) $2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$.

a) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо представить подкоренное выражение $17 - 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что выполняются два условия:

1. $a^2 + b^2 = 17$
2. $2ab = 12\sqrt{2}$, что эквивалентно $ab = 6\sqrt{2}$

Попробуем подобрать такие $a$ и $b$. Из второго уравнения видно, что одно из чисел, вероятно, содержит множитель $\sqrt{2}$. Рассмотрим возможные варианты:

• Если $a=6$ и $b=\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = 6^2 + (\sqrt{2})^2 = 36+2=38 \neq 17$.
• Если $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9+8=17$. Этот вариант подходит.

Таким образом, мы можем разложить подкоренное выражение:

$17 - 12\sqrt{2} = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = |3 - 2\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $3 - 2\sqrt{2}$. Сравним $3$ и $2\sqrt{2}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, а значит, разность $3 - 2\sqrt{2}$ положительна.

Следовательно, $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$

б) $2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$

Сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$. Для этого представим $14 + 6\sqrt{5}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что:

1. $a^2 + b^2 = 14$
2. $2ab = 6\sqrt{5}$, что эквивалентно $ab = 3\sqrt{5}$

Подберем $a$ и $b$. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$.

Условия выполняются. Значит, мы можем записать:

$14 + 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}|$.

Так как оба числа $3$ и $\sqrt{5}$ положительны, их сумма также положительна, поэтому $|3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}$.

Вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = 2 \cdot (3 + \sqrt{5})$.

Раскроем скобки:

$2 \cdot (3 + \sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5}$.

Ответ: $6 + 2\sqrt{5}$

405 Докажите формулу

$\sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Для доказательства данной формулы возведем в квадрат ее правую часть и покажем, что она равна подкоренному выражению в левой части, то есть $a + b\sqrt{c}$. Обозначим правую часть через $X$.

Прежде чем приступить к возведению в квадрат, отметим, что для корректности всех выражений в действительных числах должны выполняться условия: $c \ge 0$, $a^2 - b^2c \ge 0$ и $a - \sqrt{a^2 - b^2c} \ge 0$ (чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными). Последнее неравенство эквивалентно $a \ge \sqrt{a^2 - b^2c}$, что при условии $a \ge 0$ и $a^2 - b^2c \ge 0$ всегда выполняется. Таким образом, мы предполагаем, что $a \ge 0$, $c \ge 0$ и $a^2 \ge b^2c$.

Возведем $X$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$. Так как оба слагаемых в $X$ являются арифметическими корнями, они неотрицательны, а значит и их сумма $X \ge 0$.

Раскрывая скобки, получаем:

Упростим полученное выражение. Сумма первого и третьего слагаемых:

Теперь упростим второе слагаемое (удвоенное произведение). Используя свойство $\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$ в числителе подкоренного выражения, получаем:

По условию задачи $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Таким образом, второе слагаемое равно $b\sqrt{c}$.

Соберем все части вместе:

Так как мы установили, что $X \ge 0$, и подкоренное выражение в левой части исходного равенства $a + b\sqrt{c}$ также должно быть неотрицательным, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей последнего равенства:

Мы показали, что правая часть исходной формулы равна левой. Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.

406 Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение $a^2 - b^2c$ является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражения:

а) $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$;

б) $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$.

В задании требуется применить формулу для упрощения выражений с вложенными корнями. Формула, о которой идет речь, — это формула преобразования сложных радикалов. Она имеет вид:

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Эта формула особенно удобна, когда выражение под внутренним корнем $A^2-B$ является полным квадратом, как указано в условии задачи. Для выражений вида $\sqrt{a \pm b\sqrt{c}}$ мы можем привести их к форме $\sqrt{a \pm \sqrt{b^2c}}$, где $A=a$ и $B=b^2c$. Таким образом, условие сводится к проверке, является ли $a^2-b^2c$ полным квадратом.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$.

В данном случае $a=12$, $b=2$, $c=11$. Проверим, является ли выражение $a^2-b^2c$ квадратом натурального числа:

$a^2-b^2c = 12^2 - 2^2 \cdot 11 = 144 - 4 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Поскольку $100 = 10^2$, условие выполняется. Теперь применим формулу сложных радикалов, представив выражение в виде $\sqrt{12+\sqrt{4 \cdot 11}} = \sqrt{12+\sqrt{44}}$. Здесь $A=12$, $B=44$.

$\sqrt{12+\sqrt{44}} = \sqrt{\frac{12+\sqrt{12^2-44}}{2}} + \sqrt{\frac{12-\sqrt{12^2-44}}{2}} = \sqrt{\frac{12+\sqrt{100}}{2}} + \sqrt{\frac{12-\sqrt{100}}{2}}$

Подставляем значение $\sqrt{100}=10$:

$\sqrt{\frac{12+10}{2}} + \sqrt{\frac{12-10}{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1$.

Ответ: $1+\sqrt{11}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$.

Здесь $a=57$, $b=12$, $c=15$. Проверим условие:

$a^2-b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089$.

Проверим, является ли $1089$ полным квадратом. $30^2=900$, $33^2 = (30+3)^2 = 900+180+9=1089$. Да, $1089=33^2$.

Применим формулу, представив выражение в виде $\sqrt{57+\sqrt{144 \cdot 15}} = \sqrt{57+\sqrt{2160}}$. Здесь $A=57$, $B=2160$.

$\sqrt{57+\sqrt{2160}} = \sqrt{\frac{57+\sqrt{57^2-2160}}{2}} + \sqrt{\frac{57-\sqrt{57^2-2160}}{2}} = \sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}} + \sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}$

Подставляем значение $\sqrt{1089}=33$:

$\sqrt{\frac{57+33}{2}} + \sqrt{\frac{57-33}{2}} = \sqrt{\frac{90}{2}} + \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12}$.

Упростим полученные корни:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Следовательно, итоговое выражение равно $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

407 Докажите формулу

$\sqrt{a-b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Примените эту формулу для упрощения выражения

$\sqrt{57-12\sqrt{15}}$.

Докажите формулу

Для доказательства тождества $ \sqrt{a - b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $ возведем в квадрат его правую часть. Обозначим правую часть как $X$.

$ X = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $

Чтобы возвести $X$ в квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$:

$ X^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 - 2 \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right) \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right) + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 $

Сумма первого и третьего слагаемых:

$ \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) + \left(\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c} + a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a $

Теперь преобразуем второе слагаемое (удвоенное произведение):

$ -2 \sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) \left(\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right)} = -2 \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c})}{4}} $

Выражение в числителе под внутренним корнем является разностью квадратов $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$:

$ (a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c}) = a^2 - (\sqrt{a^2 - b^2c})^2 = a^2 - (a^2 - b^2c) = b^2c $

Подставим результат обратно:

$ -2 \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = -2 \frac{\sqrt{b^2}\sqrt{c}}{\sqrt{4}} = -2 \frac{|b|\sqrt{c}}{2} = -|b|\sqrt{c} $

По условию задачи $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Таким образом, второе слагаемое равно $-b\sqrt{c}$.

Собираем все части вместе, чтобы найти $X^2$:

$ X^2 = a - b\sqrt{c} $

По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{a - b\sqrt{c}}$ должно быть неотрицательным. Правая часть $X$ также должна быть неотрицательной. Проверим это: $ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \ge \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $, так как $a + \sqrt{a^2 - b^2c} \ge a - \sqrt{a^2 - b^2c}$ (поскольку $\sqrt{a^2-b^2c} \ge 0$). Следовательно, $X \ge 0$.

Так как $X \ge 0$ и $X^2 = a - b\sqrt{c}$, то по определению квадратного корня $X = \sqrt{a - b\sqrt{c}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Данная формула является верной.

Примените эту формулу для упрощения выражения $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$

Чтобы упростить выражение $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$, воспользуемся доказанной формулой. Сравним наше выражение с левой частью формулы $\sqrt{a - b\sqrt{c}}$.

Определим значения параметров $a$, $b$ и $c$:

$ a = 57 $

$ b = 12 $

$ c = 15 $

Условие $b > 0$ выполняется ($12 > 0$).

Теперь вычислим значение выражения $a^2 - b^2c$, которое находится под внутренним корнем в формуле:

$ a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 $

Найдем квадратный корень из этого результата:

$ \sqrt{1089} = 33 $

Подставим значения $a=57$ и $\sqrt{a^2-b^2c}=33$ в правую часть формулы:

$ \sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} - \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} $

Выполним вычисления в числителях:

$ \sqrt{\frac{90}{2}} - \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} - \sqrt{12} $

Упростим полученные квадратные корни, вынеся множители из-под знака корня:

$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} $

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид:

$ 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} $

Ответ: $3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.