Номер 403, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 403, страница 111.

Условие.

403 a) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;

б) $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}};$

в) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}};$

г) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ используется формула сокращенного умножения для квадрата суммы или разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Мы ищем представление подкоренного выражения в виде $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x + y \pm 2\sqrt{xy}$.

В данном случае, для $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$, нам нужно найти два числа $x$ и $y$, такие что их сумма $x+y=7$, а их произведение $xy=10$.

Методом подбора находим, что такими числами являются $5$ и $2$, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Следовательно, мы можем переписать выражение под корнем:

$7 + 2\sqrt{10} = 5 + 2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$.

Аналогично пункту а), мы ищем числа $x$ и $y$, для которых $x+y=7$ и $xy=10$. Это числа $5$ и $2$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$7 - 2\sqrt{10} = 5 + 2 - 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}|$.

Так как $5>2$, то $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ положительна. Поэтому модуль можно опустить.

$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$.

Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=8$ и $xy=15$.

Методом подбора находим, что это числа $5$ и $3$, так как $5+3=8$ и $5 \cdot 3=15$.

Перепишем подкоренное выражение:

$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$.

Аналогично пункту в), используем числа $x=5$ и $y=3$, так как $x+y=8$ и $xy=15$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:

$8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$.

Тогда исходное выражение равно:

$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}|$.

Так как $5>3$, то $\sqrt{5}>\sqrt{3}$, и разность $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ положительна. Следовательно, модуль можно опустить.

$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.