Номер 9, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 2. Квадратные корни - номер 9, страница 116.

Условие.

9 Объясните:

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$;

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{128}$

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо разложить подкоренное число на такие множители, чтобы из одного или нескольких из них можно было точно извлечь квадратный корень. Такой множитель должен быть полным квадратом.

1. Найдём для числа 128 множитель, являющийся полным квадратом. Для этого можно разложить 128 на простые множители: $128 = 2 \cdot 64$. Число 64 является полным квадратом, так как $8^2 = 64$.

2. Представим исходное выражение, используя найденное разложение: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2}$

3. Воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0$, $b \ge 0$). $\sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2}$

4. Вычислим значение корня из полного квадрата: $\sqrt{64} = 8$.

5. Получаем итоговый результат: $8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

Таким образом, множитель 8 был вынесен из-под знака корня.

Ответ: $8\sqrt{2}$

б) как внести множитель под знак корня в выражении $5\sqrt{3}$

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо выполнить обратную операцию: возвести множитель, стоящий перед корнем, в квадрат и записать его под знаком корня в качестве сомножителя.

1. Представим множитель 5 в виде квадратного корня. Для этого возводим 5 в квадрат и помещаем результат под знак корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

2. Перепишем исходное выражение, заменив 5 на $\sqrt{25}$: $5\sqrt{3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3}$

3. Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$: $\sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3}$

4. Выполним умножение чисел под знаком корня: $25 \cdot 3 = 75$

5. Запишем конечный результат: $\sqrt{75}$

Таким образом, множитель 5 был внесён под знак корня.

Ответ: $\sqrt{75}$