Номер 325, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 325, страница 94.

Условие.

325 Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 324, упростите выражение:

а) $\sqrt{2^{22}}$;

б) $\sqrt{3^{14}}$;

в) $\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}$;

г) $\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{2^{22}} $, воспользуемся свойством квадратного корня из степени с четным показателем: $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $ для $ a \ge 0 $. Это свойство следует из определения корня и свойств степени: $ \sqrt{a^{2k}} = (a^{2k})^{1/2} = a^{2k \cdot \frac{1}{2}} = a^k $.
В данном случае $ a = 2 $ и показатель степени $ 22 $. Мы можем представить $ 22 $ как $ 2 \cdot 11 $.
Таким образом, $ \sqrt{2^{22}} = 2^{22/2} = 2^{11} $.
Ответ: $ 2^{11} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt{3^{14}} $. Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $.
Здесь $ a = 3 $, а показатель степени $ 14 $ можно представить как $ 2 \cdot 7 $.
Следовательно, $ \sqrt{3^{14}} = 3^{14/2} = 3^7 $.
Ответ: $ 3^7 $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} $. Воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \ge 0, b \ge 0 $):
$ \sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} = \sqrt{2^{100}} \cdot \sqrt{3^{50}} $.
Теперь упростим каждый множитель отдельно, используя свойство $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $:
$ \sqrt{2^{100}} = 2^{100/2} = 2^{50} $.
$ \sqrt{3^{50}} = 3^{50/2} = 3^{25} $.
Получаем произведение $ 2^{50} \cdot 3^{25} $.
Чтобы упростить его дальше, приведем множители к одному показателю степени. Заметим, что $ 50 = 2 \cdot 25 $.
$ 2^{50} = 2^{2 \cdot 25} = (2^2)^{25} = 4^{25} $.
Теперь выражение имеет вид: $ 4^{25} \cdot 3^{25} $.
Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $, получаем:
$ 4^{25} \cdot 3^{25} = (4 \cdot 3)^{25} = 12^{25} $.
Ответ: $ 12^{25} $.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} $. Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} = \sqrt{5^{28}} \cdot \sqrt{2^{20}} $.
Упрощаем каждый множитель:
$ \sqrt{5^{28}} = 5^{28/2} = 5^{14} $.
$ \sqrt{2^{20}} = 2^{20/2} = 2^{10} $.
Получаем произведение $ 5^{14} \cdot 2^{10} $.
Для дальнейшего упрощения представим $ 5^{14} $ как $ 5^{4+10} $, что по свойству степеней равно $ 5^4 \cdot 5^{10} $.
Выражение примет вид: $ 5^4 \cdot 5^{10} \cdot 2^{10} $.
Сгруппируем степени с одинаковым показателем: $ 5^4 \cdot (5^{10} \cdot 2^{10}) $.
Применим свойство $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $:
$ 5^4 \cdot (5 \cdot 2)^{10} = 5^4 \cdot 10^{10} $.
Вычислим $ 5^4 $: $ 5^4 = 625 $.
Окончательный вид выражения: $ 625 \cdot 10^{10} $.
Ответ: $ 625 \cdot 10^{10} $.