Номер 324, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 324, страница 94.

Условие.

324 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Докажите, что $\sqrt{5^8} = 5^4$; $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$.

б) Докажите свойство: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, где $a \ge 0$ и $n \in N$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Для доказательства равенств воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно определению, $\sqrt{x} = y$ тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) $y \ge 0$ и 2) $y^2 = x$.

Доказательство для $\sqrt{5^8} = 5^4$:
Проверим оба условия для $y = 5^4$ и $x = 5^8$.
1. Проверка на неотрицательность: Число $5^4$ является степенью положительного числа, поэтому $5^4 > 0$. Условие $y \ge 0$ выполнено.
2. Проверка квадрата: Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, находим квадрат выражения $5^4$: $(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$. Результат равен подкоренному выражению $x$. Условие $y^2 = x$ выполнено.
Поскольку оба условия верны, равенство $\sqrt{5^8} = 5^4$ доказано.

Доказательство для $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$:
Проверим оба условия для $y = 3^{10}$ и $x = 3^{20}$.
1. Проверка на неотрицательность: $3^{10} > 0$. Условие $y \ge 0$ выполнено.
2. Проверка квадрата: $(3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}$. Результат равен подкоренному выражению $x$. Условие $y^2 = x$ выполнено.
Поскольку оба условия верны, равенство $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства свойства $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ при условиях $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел), необходимо, согласно определению арифметического квадратного корня, показать, что выражение $a^n$ неотрицательно и его квадрат равен подкоренному выражению $a^{2n}$.

Проверим последовательно два условия:
1. Проверка на неотрицательность ($a^n \ge 0$):
По условию дано, что $a \ge 0$. Рассмотрим два случая:
- Если $a > 0$, то и любая его натуральная степень $a^n$ будет положительной, то есть $a^n > 0$.
- Если $a = 0$, то $a^n = 0^n = 0$ для любого натурального $n \ge 1$.
Таким образом, для любого $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $a^n \ge 0$. Первое условие доказано.

2. Проверка квадрата ($(a^n)^2 = a^{2n}$):
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$:
$(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.
Результат в точности совпадает с подкоренным выражением. Второе условие доказано.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполнены, свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ при $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.