Страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Укажите выражение, равное дроби $ \frac{a-b}{a-c} $.

1) $ \frac{b-a}{a-c} $

2) $ \frac{a-b}{c-a} $

3) $ -\frac{b-a}{c-a} $

4) $ \frac{b-a}{c-a} $

Для решения задачи необходимо найти выражение, тождественно равное дроби $ \frac{a-b}{a-c} $. Мы можем преобразовать исходную дробь, используя основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное нулю, не изменяет значения дроби. Умножим числитель и знаменатель на -1:

$ \frac{a-b}{a-c} = \frac{-1 \cdot (a-b)}{-1 \cdot (a-c)} = \frac{-a+b}{-a+c} = \frac{b-a}{c-a} $

Таким образом, исходная дробь равна дроби $ \frac{b-a}{c-a} $. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $ \frac{b-a}{a-c} $

В этом выражении числитель исходной дроби умножен на -1 (так как $ b-a = -(a-b) $), а знаменатель остался без изменений. Следовательно, $ \frac{b-a}{a-c} = \frac{-(a-b)}{a-c} = -\frac{a-b}{a-c} $. Этот вариант не равен исходному выражению.

2) $ \frac{a-b}{c-a} $

В этом выражении знаменатель исходной дроби умножен на -1 (так как $ c-a = -(a-c) $), а числитель остался без изменений. Следовательно, $ \frac{a-b}{c-a} = \frac{a-b}{-(a-c)} = -\frac{a-b}{a-c} $. Этот вариант не равен исходному выражению.

3) $ -\frac{b-a}{c-a} $

Мы уже установили, что дробь $ \frac{b-a}{c-a} $ равна исходной дроби $ \frac{a-b}{a-c} $. Тогда выражение $ -\frac{b-a}{c-a} $ равно $ -\frac{a-b}{a-c} $. Этот вариант не равен исходному выражению.

4) $ \frac{b-a}{c-a} $

Как мы показали в начальном преобразовании, это выражение получается путем умножения числителя и знаменателя исходной дроби на -1. Следовательно, $ \frac{b-a}{c-a} = \frac{a-b}{a-c} $. Этот вариант равен исходному выражению.

Ответ: 4

6 Найдите сумму дробей: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}$

Для того чтобы найти сумму дробей $ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} $, необходимо привести их к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это выражения $ (x-3) $ и $ (x+3) $. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это их произведение: $ (x-3)(x+3) $.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на дополнительный множитель $ (x+3) $, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель $ (x-3) $.

$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} $

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители, оставив знаменатель прежним:

$ \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем скобки. В числителе используем формулы квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ и квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.

Числитель: $ (x+3)^2 + (x-3)^2 = (x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2) + (x^2-2 \cdot x \cdot 3+3^2) = (x^2+6x+9) + (x^2-6x+9) $.

Знаменатель: $ (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ x^2+6x+9+x^2-6x+9 = (x^2+x^2) + (6x-6x) + (9+9) = 2x^2 + 18 $.

Таким образом, результат сложения дробей:

$ \frac{2x^2+18}{x^2-9} $.

Дробь является несократимой, так как числитель $ 2x^2+18 = 2(x^2+9) $ и знаменатель $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $ не имеют общих множителей.

Ответ: $ \frac{2x^2+18}{x^2-9} $.

7 Представьте в виде дроби выражение $\frac{2m^2}{m+1} - 2m$.

Для того чтобы представить данное выражение в виде одной дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. Исходное выражение:

$\frac{2m^2}{m+1} - 2m$

Представим выражение $2m$ в виде дроби со знаменателем 1:

$\frac{2m^2}{m+1} - \frac{2m}{1}$

Общим знаменателем для этих двух дробей будет $m+1$. Чтобы привести вторую дробь к общему знаменателю, нужно умножить ее числитель и знаменатель на $m+1$:

$\frac{2m}{1} = \frac{2m(m+1)}{1(m+1)} = \frac{2m(m+1)}{m+1}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем их числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{2m^2}{m+1} - \frac{2m(m+1)}{m+1} = \frac{2m^2 - 2m(m+1)}{m+1}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2m^2 - (2m \cdot m + 2m \cdot 1)}{m+1} = \frac{2m^2 - (2m^2 + 2m)}{m+1} = \frac{2m^2 - 2m^2 - 2m}{m+1}$

После сокращения $2m^2$ и $-2m^2$ в числителе остается:

$\frac{-2m}{m+1}$

Ответ: $\frac{-2m}{m+1}$

8 Выполните деление: $ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} $

Для выполнения деления алгебраических дробей необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернуть вторую дробь).

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} $$

Заменяем деление на умножение и переворачиваем вторую дробь:

$$ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} \cdot \frac{x}{xy - y^2} $$

Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби для последующего сокращения. Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$

В знаменателе $xy - y^2$ вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$$ xy - y^2 = y(x - y) $$

Подставим полученные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{(x - y)(x + y)}{2x^2} \cdot \frac{x}{y(x - y)} $$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель $(x - y)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Также можно сократить $x$ в числителе второй дроби и в знаменателе первой дроби ($x$ и $x^2$):

$$ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{2x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{y\cancel{(x - y)}} $$

После сокращения получаем:

$$ \frac{x + y}{2x} \cdot \frac{1}{y} $$

Умножаем оставшиеся числители и знаменатели:

$$ \frac{x + y}{2xy} $$

Ответ: $ \frac{x + y}{2xy} $

9 Упростите выражение $(\frac{a}{a-b} - 1) : (\frac{a}{a+b} - 1)$.

Для упрощения данного выражения выполним действия последовательно.

1. Упростим выражение в первой скобке.

Приведем выражение к общему знаменателю $a-b$:

$ \frac{a}{a-b} - 1 = \frac{a}{a-b} - \frac{a-b}{a-b} = \frac{a - (a-b)}{a-b} = \frac{a - a + b}{a-b} = \frac{b}{a-b} $

2. Упростим выражение во второй скобке.

Приведем выражение к общему знаменателю $a+b$:

$ \frac{a}{a+b} - 1 = \frac{a}{a+b} - \frac{a+b}{a+b} = \frac{a - (a+b)}{a+b} = \frac{a - a - b}{a+b} = \frac{-b}{a+b} $

3. Выполним деление полученных выражений.

Исходное выражение теперь имеет вид:

$ \frac{b}{a-b} : \frac{-b}{a+b} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{b}{a-b} \cdot \frac{a+b}{-b} $

Сократим общий множитель $b$ в числителе первой дроби и знаменателе второй. При этом $ b \neq 0 $.

$ \frac{1}{a-b} \cdot \frac{a+b}{-1} = \frac{a+b}{-(a-b)} = \frac{a+b}{-a+b} = \frac{a+b}{b-a} $

Таким образом, после упрощения исходного выражения мы получаем дробь. Область допустимых значений переменных: $ a-b \neq 0 $, $ a+b \neq 0 $, $ b \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $

10 Какое из выражений равно степени $5^{-n}$?

1) $-\frac{1}{5^n}$

2) $\frac{1}{5^n}$

3) $-5^{-n}$

4) $-\frac{1}{5^{-n}}$

Для того чтобы найти выражение, равное степени $5^{-n}$, необходимо использовать свойство степени с отрицательным показателем. Основное правило для степеней с отрицательным показателем выглядит так:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

где a — любое ненулевое число, а n — любое число.

Применив это правило к исходному выражению $5^{-n}$, мы получим:

$5^{-n} = \frac{1}{5^n}$

Теперь давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа, чтобы найти тот, который совпадает с полученным нами выражением $\frac{1}{5^n}$.

1) $-\frac{1}{5^n}$

Это выражение является отрицательным числом, в то время как $\frac{1}{5^n}$ (и, следовательно, $5^{-n}$) является положительным числом (при условии, что n — действительное число). Они не равны.

2) $\frac{1}{5^n}$

Это выражение в точности совпадает с результатом, который мы получили, применив свойство степени с отрицательным показателем. Следовательно, это правильный ответ.

3) $-5^{-n}$

Это выражение является противоположным по знаку исходному выражению. Преобразовав его, мы получим $-(\frac{1}{5^n}) = -\frac{1}{5^n}$. Это не равно $5^{-n}$.

4) $-\frac{1}{5^{-n}}$

Чтобы упростить это выражение, преобразуем сначала знаменатель дроби: $5^{-n} = \frac{1}{5^n}$. Теперь подставим это обратно в выражение:

$-\frac{1}{5^{-n}} = -\frac{1}{\frac{1}{5^n}}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на перевернутую дробь:

$-\frac{1}{\frac{1}{5^n}} = -1 \cdot \frac{5^n}{1} = -5^n$

Это выражение не равно $5^{-n}$.

Таким образом, единственное выражение, которое равно степени $5^{-n}$, — это выражение под номером 2.

Ответ: 2

11 На координатной прямой точкой отмечено число $a$. Сравните числа $a$ и $a^{-1}$.

1) $a a^{-1}$

2) $a > a^{-1}$

3) $a = a^{-1}$

4) невозможно сравнить

Из рисунка на координатной прямой видно, что точка a находится левее точки –1. Это означает, что число a является отрицательным и удовлетворяет неравенству:

$a < -1$

Нам необходимо сравнить число $a$ с числом $a^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Поскольку $a$ — отрицательное число, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным. Нам нужно сравнить два отрицательных числа.

Чтобы понять, какое из них больше, можно рассмотреть их расположение на числовой оси. Возьмем для примера любое число, удовлетворяющее условию $a < -1$. Пусть $a = -2$.

Тогда $a^{-1} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Сравним полученные значения: $-2$ и $-0.5$. На координатной прямой точка $-2$ находится левее точки $-0.5$, следовательно:

$-2 < -0.5$

Таким образом, для нашего примера $a < a^{-1}$.

Теперь докажем это в общем виде. Из неравенства $a < -1$ следует, что модуль числа a больше единицы: $|a| > 1$. Рассмотрим модуль числа $a^{-1}$: $|a^{-1}| = |\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|}$. Так как $|a| > 1$, то обратная величина $\frac{1}{|a|}$ будет меньше единицы: $\frac{1}{|a|} < 1$. Итак, мы сравниваем два отрицательных числа, $a$ и $\frac{1}{a}$, для которых известно:

$|a| > 1$

$|\frac{1}{a}| < 1$

Из двух отрицательных чисел меньше то, чей модуль больше. Поскольку $|a| > |\frac{1}{a}|$, то $a < \frac{1}{a}$, то есть $a < a^{-1}$. Это соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1) $a < a^{-1}$

12 Миллиардные доли единиц обозначаются приставкой «нано-». Например, 1 нанометр = $10^{-9}$ м. Выразите эту величину в мм.

1) $10^{-3}$ мм

2) $10^{-7}$ мм

3) $10^{-6}$ мм

4) $10^{-12}$ мм

Для решения этой задачи необходимо перевести нанометры в миллиметры, используя в качестве промежуточной единицы метры.

Из условия задачи нам дано соотношение между нанометрами (нм) и метрами (м):

$1 \text{ нанометр} = 10^{-9} \text{ м}$

Далее, вспомним соотношение между метрами (м) и миллиметрами (мм). В одном метре содержится 1000 миллиметров.

$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$

Запишем это соотношение с использованием степени числа 10:

$1 \text{ м} = 10^3 \text{ мм}$

Теперь мы можем выполнить перевод, подставив выражение для метра в миллиметрах в исходную формулу:

$1 \text{ нанометр} = 10^{-9} \text{ м} = 10^{-9} \times (10^3 \text{ мм})$

Чтобы найти итоговое значение, воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$10^{-9} \times 10^3 = 10^{-9+3} = 10^{-6}$

Таким образом, 1 нанометр равен $10^{-6}$ мм. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $10^{-6}$ мм

13 Укажите наименьшее из чисел.

1) $1,2 \cdot 10^{-8}$

2) $5,6 \cdot 10^{-8}$

3) $1,2 \cdot 10^{-9}$

4) $5,6 \cdot 10^{-9}$

Для того чтобы найти наименьшее из предложенных чисел, необходимо их сравнить. Все числа представлены в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $a$ - мантисса, а $n$ - показатель степени.

Правило сравнения положительных чисел в стандартном виде:

1. Сначала сравниваются показатели степени ($n$). Меньшим будет то число, у которого показатель степени меньше.
2. Если показатели степени равны, то сравниваются мантиссы ($a$). Меньшим будет то число, у которого мантисса меньше.

Применим это правило к данным числам:

• 1) $1.2 \cdot 10^{-8}$
• 2) $5.6 \cdot 10^{-8}$
• 3) $1.2 \cdot 10^{-9}$
• 4) $5.6 \cdot 10^{-9}$

Шаг 1: Сравнение показателей степени.

В нашем списке есть числа с показателями степени $-8$ и $-9$. Сравним эти показатели:

$-9 < -8$

Поскольку показатель $-9$ меньше, чем $-8$, то числа с множителем $10^{-9}$ будут меньше, чем числа с множителем $10^{-8}$. Это означает, что наименьшее число находится среди вариантов 3) и 4).

Шаг 2: Сравнение мантисс.

Теперь сравним два оставшихся числа, у которых показатели степени одинаковы:

3) $1.2 \cdot 10^{-9}$

4) $5.6 \cdot 10^{-9}$

Так как показатели степени у них равны (оба $-9$), сравниваем их мантиссы: $1.2$ и $5.6$.

Поскольку $1.2 < 5.6$, то $1.2 \cdot 10^{-9} < 5.6 \cdot 10^{-9}$.

Следовательно, наименьшее из всех четырех чисел — это $1.2 \cdot 10^{-9}$, что соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

14 Сократите дробь $\frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}}$, мы можем разделить каждый член числителя на знаменатель. Это возможно благодаря свойству дробей $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$.

Итак, представим исходную дробь в виде суммы двух дробей:

$\frac{2^n + 2^{n-2}}{2^{n-4}} = \frac{2^n}{2^{n-4}} + \frac{2^{n-2}}{2^{n-4}}$

Теперь воспользуемся свойством степеней при делении: $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$. Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое:

$\frac{2^n}{2^{n-4}} = 2^{n - (n-4)} = 2^{n-n+4} = 2^4 = 16$

Второе слагаемое:

$\frac{2^{n-2}}{2^{n-4}} = 2^{(n-2) - (n-4)} = 2^{n-2-n+4} = 2^2 = 4$

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти окончательное значение выражения:

$16 + 4 = 20$

Ответ: 20

15 Решите уравнение $\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2}$.

Для решения данного уравнения с дробями, необходимо привести все его члены к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 5 является 10.

Исходное уравнение:

$\frac{x-1}{2} - \frac{x}{5} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:

$10 \cdot \left(\frac{x-1}{2}\right) - 10 \cdot \left(\frac{x}{5}\right) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним сокращение в каждом члене уравнения:

$5 \cdot (x-1) - 2 \cdot x = 5$

Теперь раскроем скобки в левой части:

$5x - 5 - 2x = 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x - 2x) - 5 = 5$

$3x - 5 = 5$

Перенесем число -5 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$3x = 5 + 5$

$3x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{10}{3}$

Этот результат можно также представить в виде смешанного числа $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$

16 Все имеющиеся на учительском столе карандаши можно разложить поровну в 3 большие коробки или в 5 маленьких. В маленькую коробку помещается на 6 карандашей меньше, чем в большую. Сколько карандашей на учительском столе?

Решая эту задачу, три ученика обозначили буквой $x$ разные величины и составили разные уравнения, причём все они были правильными.

Введённые обозначения:

А) $x$ — число карандашей в маленькой коробке

Б) $x$ — число карандашей в большой коробке

В) $x$ — число карандашей на учительском столе

Уравнения:

1) $\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6$

2) $5x = 3(x + 6)$

3) $3x = 5(x - 6)$

Соотнесите введённое обозначение с уравнением.

Для того чтобы решить задачу и соотнести обозначения с уравнениями, необходимо проанализировать каждый из трех предложенных подходов.

А) $x$ — число карандашей в маленькой коробке

Если принять, что в одной маленькой коробке находится $x$ карандашей, то общее количество карандашей на столе можно выразить как $5x$, поскольку маленьких коробок всего 5.
По условию, в большую коробку помещается на 6 карандашей больше, чем в маленькую, значит, в одной большой коробке $x + 6$ карандашей.
Общее количество карандашей также можно выразить через большие коробки: $3(x + 6)$, так как больших коробок 3.
Поскольку общее количество карандашей в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять эти два выражения и получить уравнение:
$5x = 3(x + 6)$.
Это уравнение соответствует уравнению под номером 2.

Ответ: А-2.

Б) $x$ — число карандашей в большой коробке

Если принять, что в одной большой коробке находится $x$ карандашей, то общее количество карандашей на столе равно $3x$.
В маленькой коробке на 6 карандашей меньше, чем в большой, то есть $x - 6$ карандашей.
Общее количество карандашей, выраженное через маленькие коробки, равно $5(x - 6)$.
Приравнивая выражения для общего количества карандашей, получаем уравнение:
$3x = 5(x - 6)$.
Это уравнение соответствует уравнению под номером 3.

Ответ: Б-3.

В) $x$ — число карандашей на учительском столе

Если принять, что $x$ — это общее число карандашей на столе, то в одной большой коробке находится $\frac{x}{3}$ карандашей, а в одной маленькой — $\frac{x}{5}$ карандашей.
По условию, разница в количестве карандашей между большой и маленькой коробкой составляет 6. Составим уравнение на основе этой разницы:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 6$.
Это уравнение соответствует уравнению под номером 1.
Теперь решим это уравнение, чтобы найти общее количество карандашей на столе.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 15:
$\frac{5x}{15} - \frac{3x}{15} = 6$
$\frac{2x}{15} = 6$
Умножим обе части на 15:
$2x = 90$
Найдем $x$:
$x = 45$.
Таким образом, мы нашли, что на учительском столе всего 45 карандашей.

Ответ: В-1; на столе 45 карандашей.