Номер 8, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 8, страница 63.

Условие.

8 Выполните деление: $ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для выполнения деления алгебраических дробей необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернуть вторую дробь).

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} : \frac{xy - y^2}{x} $$

Заменяем деление на умножение и переворачиваем вторую дробь:

$$ \frac{x^2 - y^2}{2x^2} \cdot \frac{x}{xy - y^2} $$

Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби для последующего сокращения. Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$

В знаменателе $xy - y^2$ вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$$ xy - y^2 = y(x - y) $$

Подставим полученные выражения обратно в произведение:

$$ \frac{(x - y)(x + y)}{2x^2} \cdot \frac{x}{y(x - y)} $$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель $(x - y)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Также можно сократить $x$ в числителе второй дроби и в знаменателе первой дроби ($x$ и $x^2$):

$$ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{2x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}}{y\cancel{(x - y)}} $$

После сокращения получаем:

$$ \frac{x + y}{2x} \cdot \frac{1}{y} $$

Умножаем оставшиеся числители и знаменатели:

$$ \frac{x + y}{2xy} $$

Ответ: $ \frac{x + y}{2xy} $