Номер 11, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 11, страница 63.

Условие.

11 На координатной прямой точкой отмечено число $a$. Сравните числа $a$ и $a^{-1}$.

1) $a a^{-1}$

2) $a > a^{-1}$

3) $a = a^{-1}$

4) невозможно сравнить

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Из рисунка на координатной прямой видно, что точка a находится левее точки –1. Это означает, что число a является отрицательным и удовлетворяет неравенству:

$a < -1$

Нам необходимо сравнить число $a$ с числом $a^{-1}$. По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Поскольку $a$ — отрицательное число, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным. Нам нужно сравнить два отрицательных числа.

Чтобы понять, какое из них больше, можно рассмотреть их расположение на числовой оси. Возьмем для примера любое число, удовлетворяющее условию $a < -1$. Пусть $a = -2$.

Тогда $a^{-1} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Сравним полученные значения: $-2$ и $-0.5$. На координатной прямой точка $-2$ находится левее точки $-0.5$, следовательно:

$-2 < -0.5$

Таким образом, для нашего примера $a < a^{-1}$.

Теперь докажем это в общем виде. Из неравенства $a < -1$ следует, что модуль числа a больше единицы: $|a| > 1$. Рассмотрим модуль числа $a^{-1}$: $|a^{-1}| = |\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|}$. Так как $|a| > 1$, то обратная величина $\frac{1}{|a|}$ будет меньше единицы: $\frac{1}{|a|} < 1$. Итак, мы сравниваем два отрицательных числа, $a$ и $\frac{1}{a}$, для которых известно:

$|a| > 1$

$|\frac{1}{a}| < 1$

Из двух отрицательных чисел меньше то, чей модуль больше. Поскольку $|a| > |\frac{1}{a}|$, то $a < \frac{1}{a}$, то есть $a < a^{-1}$. Это соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 1) $a < a^{-1}$