Номер 6, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 63.

Условие.

6 Найдите сумму дробей: $\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы найти сумму дробей $ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} $, необходимо привести их к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это выражения $ (x-3) $ и $ (x+3) $. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это их произведение: $ (x-3)(x+3) $.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на дополнительный множитель $ (x+3) $, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель $ (x-3) $.

$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} $

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители, оставив знаменатель прежним:

$ \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем скобки. В числителе используем формулы квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ и квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.

Числитель: $ (x+3)^2 + (x-3)^2 = (x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2) + (x^2-2 \cdot x \cdot 3+3^2) = (x^2+6x+9) + (x^2-6x+9) $.

Знаменатель: $ (x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ x^2+6x+9+x^2-6x+9 = (x^2+x^2) + (6x-6x) + (9+9) = 2x^2 + 18 $.

Таким образом, результат сложения дробей:

$ \frac{2x^2+18}{x^2-9} $.

Дробь является несократимой, так как числитель $ 2x^2+18 = 2(x^2+9) $ и знаменатель $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $ не имеют общих множителей.

Ответ: $ \frac{2x^2+18}{x^2-9} $.