Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

202 Приведите дробь $\frac{a}{a^2 - b^2}$ к знаменателю:

а) $(a - b)(a + b)^2$;

б) $(a - b)^2(a + b)$;

в) $(a - b)^3(a + b)$.

Сначала преобразуем знаменатель исходной дроби, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид: $\frac{a}{(a-b)(a+b)}$.

а) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)(a+b)^2$.

Чтобы привести исходную дробь $\frac{a}{(a-b)(a+b)}$ к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = a+b$.

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a+b)$:

$\frac{a \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot (a+b)} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)^2} = \frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b)^2}$.

Ответ: $\frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b)^2}$.

б) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)^2(a+b)$.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^2(a+b)}{(a-b)(a+b)} = a-b$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a-b)$:

$\frac{a \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2-ab}{(a-b)^2(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a^2-ab}{(a-b)^2(a+b)}$.

в) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)^3(a+b)$.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^3(a+b)}{(a-b)(a+b)} = (a-b)^2$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a-b)^2$:

$\frac{a \cdot (a-b)^2}{(a-b)(a+b) \cdot (a-b)^2} = \frac{a(a^2-2ab+b^2)}{(a-b)^3(a+b)} = \frac{a^3-2a^2b+ab^2}{(a-b)^3(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a^3-2a^2b+ab^2}{(a-b)^3(a+b)}$.

203 Замените выражение равным выражением так, чтобы перед дробью не было знака «минус». Выполните задание разными способами:

а) $ -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}; $

б) $ -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}. $

Чтобы заменить выражение с отрицательным знаком перед дробью на равное ему выражение без этого знака, можно использовать основное свойство дробей: $\displaystyle -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$. Это значит, что знак «минус» можно внести либо в числитель, либо в знаменатель дроби. При внесении минуса в выражение вида $(u-v)$, оно превращается в $(v-u)$, так как $-(u-v) = -u+v = v-u$.

Рассмотрим выражение $\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}$.

Способ 1: Внести знак «минус» в числитель.

Мы можем поменять знак у одного из множителей в числителе.
Если поменять знак у множителя $(a-b)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{-(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(b-a)(a-c)}{b-c}$

Если поменять знак у множителя $(a-c)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(a-b)(-(a-c))}{b-c} = \frac{(a-b)(c-a)}{b-c}$

Способ 2: Внести знак «минус» в знаменатель.

Мы можем поменять знак у знаменателя $(b-c)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(a-b)(a-c)}{-(b-c)} = \frac{(a-b)(a-c)}{c-b}$

Ответ: Выражение можно заменить, например, на одно из следующих: $\displaystyle \frac{(b-a)(a-c)}{b-c}$, $\displaystyle \frac{(a-b)(c-a)}{b-c}$ или $\displaystyle \frac{(a-b)(a-c)}{c-b}$.

Рассмотрим выражение $\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}$.

Способ 1: Внести знак «минус» в числитель.

Поменяем знак у множителя $(y-z)$ в числителе:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(-(y-z))}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(x-y)}$

Способ 2: Внести знак «минус» в знаменатель.

Мы можем поменять знак у одного из множителей в знаменателе.
Если поменять знак у множителя $(x-z)$:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{-2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(-(x-z))(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}$

Если поменять знак у множителя $(x-y)$:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(-(x-y))} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$

Ответ: Выражение можно заменить, например, на одно из следующих: $\displaystyle \frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(x-y)}$, $\displaystyle \frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}$ или $\displaystyle \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$.

204 Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 - y^2 + ax + ay}{a^2 + xy + ax - y^2} $;

Б) $ \frac{m^3 + m^2 - m - 1}{m^3 - m^2 - m + 1} $;

В) $ \frac{y^4 - 2y^2 + 1}{y^3 - y^2 - y + 1} $;

Г) $ \frac{p^3 + pq^2 - 2p^2q}{p^3 - pq^2} $;

Д) $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $;

е) $ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + xy^2 - x^2y - y^3} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2 - y^2 + ax + ay}{a^2 + xy + ax - y^2} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ x^2 - y^2 + ax + ay = (x^2 - y^2) + (ax + ay) $. Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель за скобки: $ (x-y)(x+y) + a(x+y) $. Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (x+y) $: $ (x+y)(x-y+a) $.
В знаменателе также сгруппируем слагаемые: $ a^2 + xy + ax - y^2 = (a^2 - y^2) + (xy + ax) $. Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель за скобки: $ (a-y)(a+y) + x(y+a) $. Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (a+y) $: $ (a+y)(a-y+x) $.
Получаем дробь: $ \frac{(x+y)(x-y+a)}{(a+y)(a-y+x)} $. Сократим общий множитель $ (x-y+a) $.
Ответ: $ \frac{x+y}{a+y} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^3 + m^2 - m - 1}{m^3 - m^2 - m + 1} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.
Числитель: $ m^3 + m^2 - m - 1 = m^2(m+1) - 1(m+1) = (m+1)(m^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (m+1)(m-1)(m+1) = (m+1)^2(m-1) $.
Знаменатель: $ m^3 - m^2 - m + 1 = m^2(m-1) - 1(m-1) = (m-1)(m^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (m-1)(m-1)(m+1) = (m-1)^2(m+1) $.
Получаем дробь: $ \frac{(m+1)^2(m-1)}{(m-1)^2(m+1)} $. Сокращаем общие множители $ (m-1) $ и $ (m+1) $.
Ответ: $ \frac{m+1}{m-1} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{y^4 - 2y^2 + 1}{y^3 - y^2 - y + 1} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $ y^4 - 2y^2 + 1 $ является полным квадратом разности: $ (y^2 - 1)^2 $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ ((y-1)(y+1))^2 = (y-1)^2(y+1)^2 $.
Знаменатель $ y^3 - y^2 - y + 1 $ разложим методом группировки: $ y^2(y-1) - (y-1) = (y-1)(y^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (y-1)(y-1)(y+1) = (y-1)^2(y+1) $.
Получаем дробь: $ \frac{(y-1)^2(y+1)^2}{(y-1)^2(y+1)} $. Сокращаем общие множители $ (y-1)^2 $ и $ (y+1) $.
Ответ: $ y+1 $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{p^3 + pq^2 - 2p^2q}{p^3 - pq^2} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $ p $ за скобки и изменим порядок слагаемых: $ p(p^2 - 2pq + q^2) $. Выражение в скобках является квадратом разности: $ p(p-q)^2 $.
В знаменателе вынесем общий множитель $ p $ за скобки: $ p(p^2 - q^2) $. Применим формулу разности квадратов: $ p(p-q)(p+q) $.
Получаем дробь: $ \frac{p(p-q)^2}{p(p-q)(p+q)} $. Сокращаем общие множители $ p $ и $ (p-q) $.
Ответ: $ \frac{p-q}{p+q} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель: $ x^4 - y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2) $.
Знаменатель: $ x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 $. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $ (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (2x^3y + 2xy^3) $. Первое слагаемое это $ (x^2+y^2)^2 $, из второго вынесем $ 2xy $: $ (x^2+y^2)^2 + 2xy(x^2+y^2) $. Вынесем общий множитель $ (x^2+y^2) $: $ (x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy) $. Выражение во второй скобке является квадратом суммы: $ (x^2+y^2)(x+y)^2 $.
Получаем дробь: $ \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x+y)^2} $. Сокращаем общие множители $ (x^2+y^2) $ и $ (x+y) $.
Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} $

е) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + xy^2 - x^2y - y^3} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель: $ x^4 - y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2) $.
Знаменатель: $ x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 $. Сгруппируем слагаемые: $ (x^3 - x^2y) + (xy^2 - y^3) $. Вынесем общие множители из каждой группы: $ x^2(x-y) + y^2(x-y) $. Вынесем общий множитель $ (x-y) $: $ (x-y)(x^2+y^2) $.
Получаем дробь: $ \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x-y)(x^2+y^2)} $. Сокращаем общие множители $ (x-y) $ и $ (x^2+y^2) $.
Ответ: $ x+y $

Упростите выражение (205–207).

205 а) $ \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{2}{3a - 3b} $

б) $ \frac{2m^2}{m^3 + n^3} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{2}{3a - 3b} $, приведем дроби к общему знаменателю.
Сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 3 за скобки: $ 3a - 3b = 3(a - b) $.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} - \frac{2}{3(a - b)} $.
Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $ 3(a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на $ (a^2 + ab + b^2) $: $ \frac{3(a^2 + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} - \frac{2(a^2 + ab + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $ \frac{3(a^2 + b^2) - 2(a^2 + ab + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{3a^2 + 3b^2 - 2a^2 - 2ab - 2b^2}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые: $ a^2 - 2ab + b^2 $.
Полученный числитель является формулой квадрата разности: $ (a - b)^2 $.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(a - b)^2}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{a - b}{3(a^2 + ab + b^2)} $.
Ответ: $ \frac{a - b}{3(a^2 + ab + b^2)} $.

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{2m^2}{m^3 + n^3} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $, приведем дроби к общему знаменателю.
Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов: $ m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2) $.
Выражение примет вид: $ \frac{2m^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $.
Наименьший общий знаменатель равен $ (m + n)(m^2 - mn + n^2) $.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (m + n) $: $ \frac{2m^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{(m - n)(m + n)}{(m^2 - mn + n^2)(m + n)} $.
Теперь выполним вычитание дробей: $ \frac{2m^2 - (m - n)(m + n)}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
В числителе применим формулу разности квадратов $ (m - n)(m + n) = m^2 - n^2 $: $ \frac{2m^2 - (m^2 - n^2)}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{2m^2 - m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
Упростим числитель: $ \frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
Знаменатель можно свернуть обратно в сумму кубов: $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} $.
Ответ: $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} $.

206 a) $ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(2 - x^2)^2} - \frac{2}{2 - x^2} $;Б) $ \frac{a - c}{a^2 + ac + c^2} - \frac{2}{c - a} - \frac{3c^2}{a^3 - c^3} $;В) $ \frac{a^2 - 9}{a - 1} \cdot \frac{a - a^4}{3 + a} \cdot \frac{1}{(3a - a^2)^2} $;Г) $ \frac{a^4 - b^4}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{1}{(b - a)^3} : \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} $.

Исходное выражение: $ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(2 - x^2)^2} - \frac{2}{2 - x^2} $.

Заметим, что $ 2 - x^2 = -(x^2 - 2) $. Используем это для приведения знаменателей к общему виду.
$ (2 - x^2)^2 = (-(x^2 - 2))^2 = (x^2 - 2)^2 $.
$ \frac{2}{2 - x^2} = \frac{2}{-(x^2 - 2)} = -\frac{2}{x^2 - 2} $.

Подставим преобразованные дроби в исходное выражение:
$ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(x^2 - 2)^2} - (-\frac{2}{x^2 - 2}) = \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(x^2 - 2)^2} + \frac{2}{x^2 - 2} $.

Общий знаменатель для этих дробей — $ (x^2 - 2)^3 $. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8(x^2 - 2)}{(x^2 - 2)^3} + \frac{2(x^2 - 2)^2}{(x^2 - 2)^3} $.

Сложим числители:
$ \frac{8 + 8(x^2 - 2) + 2(x^2 - 2)^2}{(x^2 - 2)^3} $.

Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2-2)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = x^4 - 4x^2 + 4 $.
$ 8 + 8x^2 - 16 + 2(x^4 - 4x^2 + 4) = 8 + 8x^2 - 16 + 2x^4 - 8x^2 + 8 $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ 2x^4 + (8x^2 - 8x^2) + (8 - 16 + 8) = 2x^4 $.

Таким образом, итоговое выражение равно:
$ \frac{2x^4}{(x^2 - 2)^3} $.

Ответ: $ \frac{2x^4}{(x^2 - 2)^3} $.

Исходное выражение: $ \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} - \frac{2}{c-a} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} $.

Разложим знаменатель $ a^3-c^3 $ по формуле разности кубов: $ a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2) $.
Также заметим, что $ c-a = -(a-c) $.

Преобразуем выражение:
$ \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} - \frac{2}{-(a-c)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} = \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} + \frac{2}{a-c} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} $.

Общий знаменатель — $ (a-c)(a^2+ac+c^2) = a^3-c^3 $. Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(a-c)(a-c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} + \frac{2(a^2+ac+c^2)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} $.

Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{(a-c)^2 + 2(a^2+ac+c^2) - 3c^2}{a^3-c^3} $.

Раскроем скобки и упростим числитель:
$ (a^2 - 2ac + c^2) + (2a^2 + 2ac + 2c^2) - 3c^2 = a^2 - 2ac + c^2 + 2a^2 + 2ac + 2c^2 - 3c^2 $.
$ (a^2+2a^2) + (-2ac+2ac) + (c^2+2c^2-3c^2) = 3a^2 $.

Итоговое выражение:
$ \frac{3a^2}{a^3-c^3} $.

Ответ: $ \frac{3a^2}{a^3-c^3} $.

Исходное выражение: $ \frac{a^2-9}{a-1} \cdot \frac{a-a^4}{3+a} \cdot \frac{1}{(3a-a^2)^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ a^2-9 = (a-3)(a+3) $.
$ a-a^4 = a(1-a^3) = a(1-a)(1+a+a^2) = -a(a-1)(a^2+a+1) $.
$ (3a-a^2)^2 = (a(3-a))^2 = a^2(3-a)^2 = a^2(a-3)^2 $.

Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(a-3)(a+3)}{a-1} \cdot \frac{-a(a-1)(a^2+a+1)}{a+3} \cdot \frac{1}{a^2(a-3)^2} $.

Объединим все в одну дробь и сократим общие множители:
$ \frac{-(a-3)(a+3)a(a-1)(a^2+a+1)}{(a-1)(a+3)a^2(a-3)^2} $.

Сокращаем $ (a-3) $, $ (a+3) $, $ a $, $ (a-1) $:
В результате в числителе остается $ -(a^2+a+1) $, а в знаменателе $ a(a-3) $:
$ \frac{-(a^2+a+1)}{a(a-3)} = -\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} $.

Ответ: $ -\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} $.

Исходное выражение: $ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{(b-a)^3} : \frac{a^2+b^2}{a^3-b^3} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{(b-a)^3} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$ a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) $.
$ (b-a)^3 = (-(a-b))^3 = -(a-b)^3 $.
$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{-(a-b)^3} \cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2} $.

Объединим все в одну дробь и сократим общие множители:
$ \frac{(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)}{-(a-b)^3(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)} $.

В результате сокращения в числителе остается $ a+b $, а в знаменателе $ -(a-b) $:
$ \frac{a+b}{-(a-b)} = \frac{a+b}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.

207 а) $\frac{3a + b}{a + b} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a - b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right);$

б) $\frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \left(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2}\right) \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3}.$

Совет. Сначала раскройте скобки, применив распределительное свойство, тогда преобразования окажутся проще.

a)

Исходное выражение: $ \frac{3a + b}{a + b} + \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} \cdot \left(\frac{a}{(a-b)^2} + \frac{a}{b^2 - a^2}\right) $

Следуя совету, раскроем скобки, применив распределительное свойство. Для этого умножим дробь $ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} $ на каждое слагаемое в скобках. Предварительно заметим, что числитель $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $ и знаменатель $ b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) = -(a-b)(a+b) $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{3a + b}{a + b} + \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a-b)^2} + \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{b^2 - a^2} $

Теперь упростим второе и третье слагаемые.

Второе слагаемое:

$ \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a-b)^2} = 1 $

Третье слагаемое:

$ \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{b^2 - a^2} = \frac{(a-b)^2}{a} \cdot \frac{a}{-(a-b)(a+b)} = -\frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = -\frac{a-b}{a+b} $

Подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$ \frac{3a + b}{a + b} + 1 - \frac{a-b}{a+b} $

Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем $ (a+b) $:

$ \left(\frac{3a + b}{a + b} - \frac{a-b}{a+b}\right) + 1 = \frac{(3a+b) - (a-b)}{a+b} + 1 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные:

$ \frac{3a + b - a + b}{a+b} + 1 = \frac{2a + 2b}{a+b} + 1 $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(a+b)}{a+b} + 1 = 2 + 1 = 3 $

Ответ: 3.

б)

Исходное выражение: $ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \left(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2}\right) \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся распределительным свойством и раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в них на $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $.

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} $

Упростим получившиеся произведения дробей. Для этого используем формулы суммы и разности кубов: $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ и $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Первое произведение:

$ \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + b^3} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} = \frac{a^2 + ab + b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{a^2 + ab + b^2}}{(a+b)(\cancel{a^2 - ab + b^2})} \cdot \frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a-b)(\cancel{a^2 + ab + b^2})} = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{1}{a^2-b^2} $

Второе произведение:

$ \frac{b^3 - a^3}{a^2 - ab + b^2} \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 - b^3} = \frac{b^3-a^3}{\cancel{a^2 - ab + b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{a^3 - b^3} = \frac{b^3-a^3}{a^3-b^3} = \frac{-(a^3-b^3)}{a^3-b^3} = -1 $

Подставим результаты в выражение:

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{b^2 - a^2} + \frac{1}{a^2-b^2} - (-1) $

Заметим, что $ b^2 - a^2 = -(a^2-b^2) $. Тогда:

$ \frac{1 - 2b^2 - 2ab}{-(a^2-b^2)} + \frac{1}{a^2-b^2} + 1 = -\frac{1 - 2b^2 - 2ab}{a^2-b^2} + \frac{1}{a^2-b^2} + 1 $

Объединим дроби:

$ \frac{-(1 - 2b^2 - 2ab) + 1}{a^2-b^2} + 1 = \frac{-1 + 2b^2 + 2ab + 1}{a^2-b^2} + 1 = \frac{2b^2 + 2ab}{a^2-b^2} + 1 $

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{2b(b+a)}{(a-b)(a+b)} + 1 $

Сократим дробь на $ (a+b) $:

$ \frac{2b}{a-b} + 1 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2b}{a-b} + \frac{a-b}{a-b} = \frac{2b+a-b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $

Ответ: $ \frac{a+b}{a-b} $.

208 Докажите, что:

а) $\frac{a-b}{a^2+ab} - \frac{a+3b}{ab+b^2} + \frac{a+b}{ab} = 0;$

б) $\frac{b}{a^2-ab} - \frac{a}{ab-b^2} + \frac{a+b}{ab} = 0.$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:$a^2+ab = a(a+b)$;$ab+b^2 = b(a+b)$.Общим знаменателем является выражение $ab(a+b)$.Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{a-b}{a^2+ab} - \frac{a+3b}{ab+b^2} + \frac{a+b}{ab} = \frac{(a-b)b}{ab(a+b)} - \frac{(a+3b)a}{ab(a+b)} + \frac{(a+b)(a+b)}{ab(a+b)} $$ = \frac{b(a-b) - a(a+3b) + (a+b)^2}{ab(a+b)} $.Раскроем скобки и упростим числитель:$ = \frac{ab-b^2 - (a^2+3ab) + (a^2+2ab+b^2)}{ab(a+b)} = \frac{ab-b^2 - a^2-3ab + a^2+2ab+b^2}{ab(a+b)} $.Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:$ = \frac{(-a^2+a^2) + (ab-3ab+2ab) + (-b^2+b^2)}{ab(a+b)} = \frac{0}{ab(a+b)} = 0 $.Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатели на множители:$a^2-ab = a(a-b)$;$ab-b^2 = b(a-b)$.Общим знаменателем является выражение $ab(a-b)$.Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:$ \frac{b}{a^2-ab} - \frac{a}{ab-b^2} + \frac{a+b}{ab} = \frac{b \cdot b}{ab(a-b)} - \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} + \frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} $$ = \frac{b^2 - a^2 + (a+b)(a-b)}{ab(a-b)} $.Применим в числителе формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ и приведем подобные слагаемые:$ = \frac{b^2 - a^2 + a^2 - b^2}{ab(a-b)} = \frac{(-a^2+a^2) + (b^2-b^2)}{ab(a-b)} = \frac{0}{ab(a-b)} = 0 $.Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.Ответ: Тождество доказано.

209 Докажите, что:

а) $1 + \frac{1}{a} + \frac{1+a}{ab} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd};$

б) $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{8}{1-a^8};$

В) $\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1.$

а) Докажем тождество, последовательно преобразовывая левую часть равенства. Начнем с суммирования первых двух слагаемых:
$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$
Теперь прибавим к результату третье слагаемое:
$\frac{a+1}{a} + \frac{1+a}{ab} = \frac{(a+1)b}{ab} + \frac{1+a}{ab} = \frac{ab+b+1+a}{ab} = \frac{(a+1)(b+1)}{ab}$
Прибавим четвертое слагаемое:
$\frac{(1+a)(1+b)}{ab} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} = \frac{(1+a)(1+b)c}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} = \frac{((1+a)(1+b))(c+1)}{abc} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc}$
Наконец, прибавим последнее слагаемое из левой части:
$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)d}{abcd} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{((1+a)(1+b)(1+c))(d+1)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$

б) Будем доказывать тождество, последовательно складывая дроби в левой части. Начнем с первых двух дробей, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1-a^2}$
Теперь прибавим к полученному результату третью дробь:
$\frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4}$
И наконец, прибавим последнюю, четвертую дробь:
$\frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8}$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{8}{1-a^8} = \frac{8}{1-a^8}$

в) Для доказательства тождества приведем все дроби в левой части к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели дробей, чтобы они имели одинаковую структуру:
$(b-a) = -(a-b)$
$(c-a) = -(a-c)$
$(c-b) = -(b-c)$
Тогда выражение можно переписать так:
$\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{-(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{bc}{(a-b)(a-c)} - \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)}$
Общий знаменатель для этих дробей равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} = \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$
Раскроем скобки в числителе:
$bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2$
Сгруппируем слагаемые в числителе по степеням переменной $a$:
$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$
Вынесем общий множитель $(b-c)$:
$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$
Раскроем скобки внутри второго множителя и сгруппируем:
$(b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c)$
Таким образом, числитель равен $(a-b)(b-c)(a-c)$. Подставим его обратно в дробь:
$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $1 = 1$