Номер 203, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 203, страница 56.

Условие.

203 Замените выражение равным выражением так, чтобы перед дробью не было знака «минус». Выполните задание разными способами:

а) $ -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}; $

б) $ -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы заменить выражение с отрицательным знаком перед дробью на равное ему выражение без этого знака, можно использовать основное свойство дробей: $\displaystyle -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$. Это значит, что знак «минус» можно внести либо в числитель, либо в знаменатель дроби. При внесении минуса в выражение вида $(u-v)$, оно превращается в $(v-u)$, так как $-(u-v) = -u+v = v-u$.

а)

Рассмотрим выражение $\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c}$.

Способ 1: Внести знак «минус» в числитель.

Мы можем поменять знак у одного из множителей в числителе.
Если поменять знак у множителя $(a-b)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{-(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(b-a)(a-c)}{b-c}$

Если поменять знак у множителя $(a-c)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(a-b)(-(a-c))}{b-c} = \frac{(a-b)(c-a)}{b-c}$

Способ 2: Внести знак «минус» в знаменатель.

Мы можем поменять знак у знаменателя $(b-c)$:
$\displaystyle -\frac{(a-b)(a-c)}{b-c} = \frac{(a-b)(a-c)}{-(b-c)} = \frac{(a-b)(a-c)}{c-b}$

Ответ: Выражение можно заменить, например, на одно из следующих: $\displaystyle \frac{(b-a)(a-c)}{b-c}$, $\displaystyle \frac{(a-b)(c-a)}{b-c}$ или $\displaystyle \frac{(a-b)(a-c)}{c-b}$.

б)

Рассмотрим выражение $\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)}$.

Способ 1: Внести знак «минус» в числитель.

Поменяем знак у множителя $(y-z)$ в числителе:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(-(y-z))}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(x-y)}$

Способ 2: Внести знак «минус» в знаменатель.

Мы можем поменять знак у одного из множителей в знаменателе.
Если поменять знак у множителя $(x-z)$:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{-2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(-(x-z))(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}$

Если поменять знак у множителя $(x-y)$:
$\displaystyle -\frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(x-y)} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(-(x-y))} = \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$

Ответ: Выражение можно заменить, например, на одно из следующих: $\displaystyle \frac{(x+y)(z-y)}{2(x-z)(x-y)}$, $\displaystyle \frac{(x+y)(y-z)}{2(z-x)(x-y)}$ или $\displaystyle \frac{(x+y)(y-z)}{2(x-z)(y-x)}$.