Номер 209, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 209, страница 56.

Условие.

209 Докажите, что:

а) $1 + \frac{1}{a} + \frac{1+a}{ab} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd};$

б) $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{8}{1-a^8};$

В) $\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Докажем тождество, последовательно преобразовывая левую часть равенства. Начнем с суммирования первых двух слагаемых:
$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$
Теперь прибавим к результату третье слагаемое:
$\frac{a+1}{a} + \frac{1+a}{ab} = \frac{(a+1)b}{ab} + \frac{1+a}{ab} = \frac{ab+b+1+a}{ab} = \frac{(a+1)(b+1)}{ab}$
Прибавим четвертое слагаемое:
$\frac{(1+a)(1+b)}{ab} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} = \frac{(1+a)(1+b)c}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)}{abc} = \frac{((1+a)(1+b))(c+1)}{abc} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc}$
Наконец, прибавим последнее слагаемое из левой части:
$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)d}{abcd} + \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} = \frac{((1+a)(1+b)(1+c))(d+1)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd} = \frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$

б) Будем доказывать тождество, последовательно складывая дроби в левой части. Начнем с первых двух дробей, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1-a^2}$
Теперь прибавим к полученному результату третью дробь:
$\frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4}$
И наконец, прибавим последнюю, четвертую дробь:
$\frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8}$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{8}{1-a^8} = \frac{8}{1-a^8}$

в) Для доказательства тождества приведем все дроби в левой части к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели дробей, чтобы они имели одинаковую структуру:
$(b-a) = -(a-b)$
$(c-a) = -(a-c)$
$(c-b) = -(b-c)$
Тогда выражение можно переписать так:
$\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{-(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{bc}{(a-b)(a-c)} - \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)}$
Общий знаменатель для этих дробей равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} = \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$
Раскроем скобки в числителе:
$bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2$
Сгруппируем слагаемые в числителе по степеням переменной $a$:
$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c)$
Вынесем общий множитель $(b-c)$:
$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$
Раскроем скобки внутри второго множителя и сгруппируем:
$(b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c)$
Таким образом, числитель равен $(a-b)(b-c)(a-c)$. Подставим его обратно в дробь:
$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $1 = 1$