Номер 212, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 212, страница 57.

Условие.

основным свойством дроби.

212 а) Дано: $x - \frac{x}{x+1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2}$ через $y$.

б) Дано: $x + \frac{x}{x-1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2}$ через $y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано равенство $x - \frac{x}{x+1} = y$. Требуется выразить $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2}$ через $y$.

Для решения задачи возведем обе части исходного равенства в квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - \frac{x}{x+1})^2 = y^2$

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} + (\frac{x}{x+1})^2 = y^2$

$x^2 - \frac{2x^2}{x+1} + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2$

Выразим из полученного уравнения искомую сумму квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2 + \frac{2x^2}{x+1}$

Теперь вернемся к исходному равенству и упростим его левую часть, приведя к общему знаменателю:

$y = x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$

Как видим, выражение $\frac{x^2}{x+1}$ равно $y$. Подставим это в наше уравнение для суммы квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2 + 2(\frac{x^2}{x+1}) = y^2 + 2y$

Ответ: $y^2 + 2y$

---

б) Дано равенство $x + \frac{x}{x-1} = y$. Требуется выразить $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2}$ через $y$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части данного равенства в квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + \frac{x}{x-1})^2 = y^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x-1} + (\frac{x}{x-1})^2 = y^2$

$x^2 + \frac{2x^2}{x-1} + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2$

Выразим из полученного уравнения искомую сумму квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2 - \frac{2x^2}{x-1}$

Теперь упростим левую часть исходного равенства:

$y = x + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1) + x}{x-1} = \frac{x^2-x+x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$

Выражение $\frac{x^2}{x-1}$ равно $y$. Подставим это в наше уравнение для суммы квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2 - 2(\frac{x^2}{x-1}) = y^2 - 2y$

Ответ: $y^2 - 2y$