Номер 215, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. Дополнительные задания - номер 215, страница 57.

Условие.

Упростите выражение (215–216).

215 а) $-$\frac{1}{2}$a^2b^3 \cdot \frac{3}{2}$a^{-2}b^{-3}$;

б) $10x^{-1}y^{-10} \cdot 0,05x^3y^{-10}$;

в) $(2m^{-3}n)^{-2} \cdot 8m^{-5}n$;

г) $3p^4q^{-3} \cdot (3pq^{-3})^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $-\frac{1}{2}a^2b^3 \cdot \frac{3}{2}a^{-2}b^{-3}$, мы перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $-\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$.

Затем перемножим степени с основанием $a$: $a^2 \cdot a^{-2} = a^{2+(-2)} = a^0 = 1$.

Далее перемножим степени с основанием $b$: $b^3 \cdot b^{-3} = b^{3+(-3)} = b^0 = 1$.

Собираем все вместе: $-\frac{3}{4} \cdot 1 \cdot 1 = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) Упростим выражение $10x^{-1}y^{-10} \cdot 0,05x^3y^{-10}$.

Перемножим коэффициенты: $10 \cdot 0,05 = 0,5$.

Перемножим степени с основанием $x$: $x^{-1} \cdot x^3 = x^{-1+3} = x^2$.

Перемножим степени с основанием $y$: $y^{-10} \cdot y^{-10} = y^{-10+(-10)} = y^{-20}$.

Объединяя результаты, получаем: $0,5x^2y^{-20}$.

Ответ: $0,5x^2y^{-20}$

в) Рассмотрим выражение $(2m^{-3}n)^{-2} \cdot 8m^{-5}n$.

Сначала упростим первую часть выражения, используя свойство степени произведения $(abc)^k = a^k b^k c^k$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2m^{-3}n)^{-2} = 2^{-2} \cdot (m^{-3})^{-2} \cdot n^{-2} = \frac{1}{2^2}m^{6}n^{-2} = \frac{1}{4}m^{6}n^{-2}$.

Теперь умножим результат на вторую часть выражения: $(\frac{1}{4}m^{6}n^{-2}) \cdot (8m^{-5}n)$.

Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{4} \cdot 8 = 2$.

Перемножим степени с основанием $m$: $m^6 \cdot m^{-5} = m^{6-5} = m^1 = m$.

Перемножим степени с основанием $n$: $n^{-2} \cdot n^1 = n^{-2+1} = n^{-1}$.

Соединив все части, получаем: $2mn^{-1}$.

Ответ: $2mn^{-1}$

г) Упростим выражение $3p^4q^{-3} \cdot (3pq^{-3})^{-1}$.

Сначала раскроем скобки во втором множителе, применив свойство степени произведения $(abc)^k = a^k b^k c^k$:

$(3pq^{-3})^{-1} = 3^{-1} \cdot p^{-1} \cdot (q^{-3})^{-1} = \frac{1}{3}p^{-1}q^{3}$.

Теперь перемножим первый множитель на упрощенный второй:

$3p^4q^{-3} \cdot (\frac{1}{3}p^{-1}q^{3})$.

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

Коэффициенты: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Степени с основанием $p$: $p^4 \cdot p^{-1} = p^{4-1} = p^3$.

Степени с основанием $q$: $q^{-3} \cdot q^{3} = q^{-3+3} = q^0 = 1$.

Итоговый результат: $1 \cdot p^3 \cdot 1 = p^3$.

Ответ: $p^3$