Номер 210, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 210, страница 57.

Условие.

Совет. Найдите сумму первых двух слагаемых, прибавьте к ней третье слагаемое и т. д.

210 Упростите выражение:

а) $ \frac{u - \frac{u^2}{u+1}}{u - \frac{u}{u+1}} $

б) $ \frac{x - \frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x} - 1} $

В) $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a}} $

Г) $ \frac{\frac{x}{x-z} - \frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z} - \frac{x}{y-z}} $

Д) $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{n-3}} $

е) $ \frac{n}{n - \frac{1}{1 - \frac{n}{1+n}}} $

Совет. а) Можно воспользоваться основным свойством дроби: умножить числитель и знаменатель данной дроби на $u+1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $ \frac{u - \frac{u^2}{u+1}}{u - \frac{u}{u+1}} $ сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби. Числитель: $ u - \frac{u^2}{u+1} = \frac{u(u+1) - u^2}{u+1} = \frac{u^2 + u - u^2}{u+1} = \frac{u}{u+1} $. Знаменатель: $ u - \frac{u}{u+1} = \frac{u(u+1) - u}{u+1} = \frac{u^2 + u - u}{u+1} = \frac{u^2}{u+1} $. Теперь выполним деление: $ \frac{\frac{u}{u+1}}{\frac{u^2}{u+1}} = \frac{u}{u+1} \cdot \frac{u+1}{u^2} = \frac{u}{u^2} = \frac{1}{u} $.
Ответ: $ \frac{1}{u} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{x - \frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x} - 1} $. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $x$: $ x - \frac{6x-9}{x} = \frac{x^2 - (6x-9)}{x} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x} = \frac{(x-3)^2}{x} $. Упростим знаменатель: $ \frac{3}{x} - 1 = \frac{3-x}{x} $. Разделим полученные выражения: $ \frac{\frac{(x-3)^2}{x}}{\frac{3-x}{x}} = \frac{(x-3)^2}{x} \cdot \frac{x}{3-x} = \frac{(x-3)^2}{-(x-3)} = -(x-3) = 3-x $.
Ответ: $ 3-x $

в) Упростим выражение $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a}} $. Преобразуем числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю $a(a+b)$: $ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} $. Преобразуем знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю $a(a+b)$: $ \frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a} = \frac{a^2 + (a-b)(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2 + a^2-b^2}{a(a+b)} = \frac{2a^2-b^2}{a(a+b)} $. Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{2a^2-b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{2a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2} $

г) Дано выражение $ \frac{\frac{x}{x-z} - \frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z} - \frac{x}{y-z}} $. Упростим числитель, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$: $ \frac{x(y-z) - y(x-z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{xy-xz-xy+yz}{(x-z)(y-z)} = \frac{yz-xz}{(x-z)(y-z)} = \frac{z(y-x)}{(x-z)(y-z)} $. Упростим знаменатель, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$: $ \frac{y(y-z) - x(x-z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{y^2-yz-x^2+xz}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y^2-x^2) - (yz-xz)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y-x)(y+x) - z(y-x)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y-x)(x+y-z)}{(x-z)(y-z)} $. Выполним деление: $ \frac{\frac{z(y-x)}{(x-z)(y-z)}}{\frac{(y-x)(x+y-z)}{(x-z)(y-z)}} = \frac{z(y-x)}{(y-x)(x+y-z)} = \frac{z}{x+y-z} $.
Ответ: $ \frac{z}{x+y-z} $

д) Рассмотрим выражение $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{n-3}} $. Начнем упрощение с внутреннего знаменателя: $ 1 - \frac{1}{n-3} = \frac{n-3}{n-3} - \frac{1}{n-3} = \frac{n-3-1}{n-3} = \frac{n-4}{n-3} $. Подставим результат в исходное выражение: $ 1 - \frac{1}{\frac{n-4}{n-3}} = 1 - \frac{n-3}{n-4} $. Теперь приведем к общему знаменателю: $ \frac{n-4}{n-4} - \frac{n-3}{n-4} = \frac{(n-4)-(n-3)}{n-4} = \frac{n-4-n+3}{n-4} = \frac{-1}{n-4} = \frac{1}{4-n} $.
Ответ: $ \frac{1}{4-n} $

е) Упростим многоэтажную дробь $ \frac{n}{n - \frac{1}{1 - \frac{n}{1+n}}} $. Начнем с самого нижнего знаменателя: $ 1 - \frac{n}{1+n} = \frac{1+n}{1+n} - \frac{n}{1+n} = \frac{1+n-n}{1+n} = \frac{1}{1+n} $. Подставим это в знаменатель основной дроби: $ n - \frac{1}{\frac{1}{1+n}} = n - (1+n) = n-1-n = -1 $. Теперь все выражение равно $ \frac{n}{-1} = -n $.
Ответ: $ -n $