Номер 208, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 208, страница 56.

Условие.

208 Докажите, что:

а) $\frac{a-b}{a^2+ab} - \frac{a+3b}{ab+b^2} + \frac{a+b}{ab} = 0;$

б) $\frac{b}{a^2-ab} - \frac{a}{ab-b^2} + \frac{a+b}{ab} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:$a^2+ab = a(a+b)$;$ab+b^2 = b(a+b)$.Общим знаменателем является выражение $ab(a+b)$.Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{a-b}{a^2+ab} - \frac{a+3b}{ab+b^2} + \frac{a+b}{ab} = \frac{(a-b)b}{ab(a+b)} - \frac{(a+3b)a}{ab(a+b)} + \frac{(a+b)(a+b)}{ab(a+b)} $$ = \frac{b(a-b) - a(a+3b) + (a+b)^2}{ab(a+b)} $.Раскроем скобки и упростим числитель:$ = \frac{ab-b^2 - (a^2+3ab) + (a^2+2ab+b^2)}{ab(a+b)} = \frac{ab-b^2 - a^2-3ab + a^2+2ab+b^2}{ab(a+b)} $.Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:$ = \frac{(-a^2+a^2) + (ab-3ab+2ab) + (-b^2+b^2)}{ab(a+b)} = \frac{0}{ab(a+b)} = 0 $.Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатели на множители:$a^2-ab = a(a-b)$;$ab-b^2 = b(a-b)$.Общим знаменателем является выражение $ab(a-b)$.Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:$ \frac{b}{a^2-ab} - \frac{a}{ab-b^2} + \frac{a+b}{ab} = \frac{b \cdot b}{ab(a-b)} - \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} + \frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} $$ = \frac{b^2 - a^2 + (a+b)(a-b)}{ab(a-b)} $.Применим в числителе формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ и приведем подобные слагаемые:$ = \frac{b^2 - a^2 + a^2 - b^2}{ab(a-b)} = \frac{(-a^2+a^2) + (b^2-b^2)}{ab(a-b)} = \frac{0}{ab(a-b)} = 0 $.Левая часть выражения равна 0, что и требовалось доказать.Ответ: Тождество доказано.