Номер 201, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. Дополнительные задания - номер 201, страница 55.

Условие.

201 Найдите значения переменной, при которых значение дроби равно нулю:

а) $\frac{5a - 4}{a + 1}$;

б) $\frac{2m^2}{m - 2}$;

в) $\frac{(n - 6)(2n + 10)}{6n^2}$;

г) $\frac{b(b + 2)(3b - 6)}{b - 10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 5a - 4 = 0 \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$5a = 4$

$a = \frac{4}{5}$

$a = 0,8$

Теперь проверим второе условие (область допустимых значений):

$a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$

Поскольку $0,8 \neq -1$, найденное значение переменной является решением.

Ответ: $a = 0,8$.

б) Дробь $\frac{2m^2}{m-2}$ равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$\begin{cases} 2m^2 = 0 \\ m - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя:

$2m^2 = 0$

$m^2 = 0$

$m = 0$

Проверим условие для знаменателя:

$m - 2 \neq 0 \implies m \neq 2$

Значение $m=0$ удовлетворяет условию $m \neq 2$, следовательно, является решением.

Ответ: $m = 0$.

в) Дробь $\frac{(n-6)(2n+10)}{6n^2}$ равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} (n-6)(2n+10) = 0 \\ 6n^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$n - 6 = 0$ или $2n + 10 = 0$

Из первого уравнения получаем $n_1 = 6$.

Из второго уравнения: $2n = -10$, откуда $n_2 = -5$.

Проверим условие для знаменателя:

$6n^2 \neq 0 \implies n^2 \neq 0 \implies n \neq 0$

Оба найденных корня, $n=6$ и $n=-5$, удовлетворяют условию $n \neq 0$. Следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $n = 6$; $n = -5$.

г) Дробь $\frac{b(b+2)(3b-6)}{b-10}$ равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} b(b+2)(3b-6) = 0 \\ b-10 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$b = 0$

или

$b + 2 = 0 \implies b = -2$

или

$3b - 6 = 0 \implies 3b = 6 \implies b = 2$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $b=0$, $b=-2$ и $b=2$.

Проверим условие для знаменателя:

$b - 10 \neq 0 \implies b \neq 10$

Все три найденных значения ($0, -2, 2$) не равны $10$, поэтому все они являются решениями.

Ответ: $b = -2$; $b = 0$; $b = 2$.