Номер 196, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 196, страница 55.

Условие.

196 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $ \frac{2n+1}{n-1} $;

б) $ \frac{4n+3}{3n-1} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дробь $\frac{2n+1}{n-1}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Пусть $d$ – их общий делитель, $d = \text{НОД}(2n+1, n-1)$.

Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида):

$\text{НОД}(2n+1, n-1) = \text{НОД}(2n+1 - 2(n-1), n-1)$

Выполним преобразование в первом аргументе:

$2n+1 - 2(n-1) = 2n+1 - 2n + 2 = 3$

Таким образом, $\text{НОД}(2n+1, n-1) = \text{НОД}(3, n-1)$.

Дробь сократима, если этот делитель больше 1. Поскольку 3 – простое число, его делителями являются только 1 и 3. Значит, для сократимости дроби необходимо, чтобы $\text{НОД}(3, n-1) = 3$.

Это условие выполняется, если $n-1$ делится на 3. То есть, $n-1$ должно быть кратно 3. Запишем это в виде формулы:

$n-1 = 3k$, где $k$ – целое число.

Отсюда $n = 3k+1$.

По условию, $n$ – натуральное число. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $n-1 \neq 0$, следовательно, $n \neq 1$.

Если $k=0$, то $n=1$, что недопустимо.

Значит, $k$ должно быть натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$).

При $k=1$, $n=4$. Проверка: $\frac{2(4)+1}{4-1} = \frac{9}{3}$. Дробь сократима.

При $k=2$, $n=7$. Проверка: $\frac{2(7)+1}{7-1} = \frac{15}{6}$. Дробь сократима.

Ответ: Дробь можно сократить при натуральных $n$ вида $n = 3k+1$, где $k$ – любое натуральное число ($k \geq 1$).

б)

Рассмотрим дробь $\frac{4n+3}{3n-1}$. Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $d > 1$.

Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя, используя алгоритм Евклида: $d = \text{НОД}(4n+3, 3n-1)$.

Если $d$ делит $4n+3$ и $3n-1$, то $d$ делит и их линейные комбинации. Умножим первое выражение на 3, а второе на 4, чтобы избавиться от $n$ при вычитании:

$3(4n+3) = 12n+9$

$4(3n-1) = 12n-4$

Поскольку $d$ делит $12n+9$ и $12n-4$, он должен делить и их разность:

$d$ делит $(12n+9) - (12n-4)$

$d$ делит $12n+9 - 12n+4$

$d$ делит $13$

Число 13 – простое, его делители – 1 и 13. Для того чтобы дробь была сократимой, их общий делитель $d$ должен быть больше 1. Следовательно, $d=13$.

Это означает, что и числитель $4n+3$, и знаменатель $3n-1$ должны делиться на 13.

Проверим, при каких $n$ знаменатель $3n-1$ делится на 13:

$3n-1 = 13k$ для некоторого целого $k$.

$3n = 13k+1$

Это означает, что $3n \equiv 1 \pmod{13}$. Чтобы найти $n$, нужно умножить обе части сравнения на число, обратное к 3 по модулю 13. Найдем это число. $3 \times 9 = 27 = 2 \times 13 + 1$, значит, $3 \times 9 \equiv 1 \pmod{13}$. Обратное число – 9.

$9 \times (3n) \equiv 9 \times 1 \pmod{13}$

$27n \equiv 9 \pmod{13}$

$n \equiv 9 \pmod{13}$

Таким образом, $n$ должно иметь вид $n = 13m+9$, где $m$ – целое число.

Поскольку $n$ должно быть натуральным, $13m+9 \ge 1$. Это выполняется при $m \ge 0$.

Теперь нужно убедиться, что при таких $n$ числитель $4n+3$ также делится на 13. Подставим $n=13m+9$ в выражение $4n+3$:

$4(13m+9)+3 = 52m + 36 + 3 = 52m + 39 = 13(4m+3)$.

Выражение $13(4m+3)$ очевидно делится на 13. Следовательно, при всех натуральных $n$ вида $13m+9$ (где $m=0, 1, 2, ...$) дробь сократима (на 13).

Ответ: Дробь можно сократить при натуральных $n$ вида $n = 13m+9$, где $m$ – любое целое неотрицательное число ($m \geq 0$).