Номер 190, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 190, страница 54.

Условие.

190 Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:

а) $\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}$;

б) $\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Чтобы представить дробь $ \frac{3n^2-10n-3}{n-4} $ в виде суммы многочлена и правильной дроби, необходимо выполнить деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе столбиком (уголком). Правильная дробь — это дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Выполним деление $3n^2-10n-3$ на $n-4$:

1. Делим первый член делимого ($3n^2$) на первый член делителя ($n$): $ \frac{3n^2}{n} = 3n $. Это первый член частного.
2. Умножаем делитель ($n-4$) на полученный член частного ($3n$): $ 3n \cdot (n-4) = 3n^2 - 12n $.
3. Вычитаем результат из делимого: $ (3n^2 - 10n) - (3n^2 - 12n) = 2n $. Сносим следующий член делимого ($-3$), получаем $ 2n - 3 $.
4. Делим первый член нового делимого ($2n$) на первый член делителя ($n$): $ \frac{2n}{n} = 2 $. Это второй член частного.
5. Умножаем делитель ($n-4$) на второй член частного ($2$): $ 2 \cdot (n-4) = 2n - 8 $.
6. Вычитаем результат из $ 2n - 3 $: $ (2n - 3) - (2n - 8) = 5 $. Это остаток, так как его степень (0) меньше степени делителя (1).

Схематично это выглядит так:

 3n + 2 ____________n-4 | 3n² - 10n - 3 - (3n² - 12n) ---------- 2n - 3 - (2n - 8) ------- 5

Таким образом, частное (многочлен) равно $ 3n+2 $, а остаток равен $ 5 $. Исходную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

$ \frac{3n^2-10n-3}{n-4} = 3n+2 + \frac{5}{n-4} $

Ответ: $3n+2+\frac{5}{n-4}$

б) Аналогично выполним деление многочлена $ n^3+n^2-n+5 $ на многочлен $ n+2 $ столбиком.

1. Делим $ n^3 $ на $ n $: $ \frac{n^3}{n} = n^2 $. Это первый член частного.
2. Умножаем $ n+2 $ на $ n^2 $: $ n^2(n+2) = n^3+2n^2 $.
3. Вычитаем из делимого: $ (n^3+n^2) - (n^3+2n^2) = -n^2 $. Сносим $ -n $, получаем $ -n^2 - n $.
4. Делим $ -n^2 $ на $ n $: $ \frac{-n^2}{n} = -n $. Это второй член частного.
5. Умножаем $ n+2 $ на $ -n $: $ -n(n+2) = -n^2-2n $.
6. Вычитаем из $ -n^2 - n $: $ (-n^2-n) - (-n^2-2n) = n $. Сносим $ 5 $, получаем $ n+5 $.
7. Делим $ n $ на $ n $: $ \frac{n}{n} = 1 $. Это третий член частного.
8. Умножаем $ n+2 $ на $ 1 $: $ 1(n+2) = n+2 $.
9. Вычитаем из $ n+5 $: $ (n+5) - (n+2) = 3 $. Это остаток.

Схема деления:

 n² - n + 1 ________________n+2 | n³ + n² - n + 5 - (n³ + 2n²) ---------- -n² - n - (-n² - 2n) --------- n + 5 - (n + 2) ----- 3

Частное равно $ n^2-n+1 $, остаток равен $ 3 $. Представляем дробь в виде суммы:

$ \frac{n^3+n^2-n+5}{n+2} = n^2-n+1 + \frac{3}{n+2} $

Ответ: $n^2-n+1+\frac{3}{n+2}$