Номер 190, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

190 Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:

а) $\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}$;

б) $\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}$.

а) $\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}$

Разделим $3n^2 - 10n - 3$ на $n - 4$:

1. Делим первый член $3n^2$ на $n$, получаем $3n$. Это первое слагаемое частного.
2. Умножаем $3n(n - 4) = 3n^2 - 12n$.
3. Вычитаем: $(3n^2 - 10n) - (3n^2 - 12n) = 2n$.
4. Сносим $-3$, получаем $2n - 3$.
5. Делим $2n$ на $n$, получаем $2$. Это второе слагаемое частного.
6. Умножаем $2(n - 4) = 2n - 8$.
7. Вычитаем: $(2n - 3) - (2n - 8) = 5$. Это остаток.

Запишем результат в виде $Q(n) + \frac{R}{P(n)}$, где $Q(n)$ — частное, а $R$ — остаток: $$\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4} = 3n + 2 + \frac{5}{n - 4}$$

Ответ: $3n + 2 + \frac{5}{n - 4}$.

б) $\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}$

Разделим $n^3 + n^2 - n + 5$ на $n + 2$:

1. $n^3 \div n = n^2$. Умножаем: $n^2(n + 2) = n^3 + 2n^2$.
2. Вычитаем: $(n^3 + n^2) - (n^3 + 2n^2) = -n^2$.
3. Сносим $-n$, получаем $-n^2 - n$.
4. $-n^2 \div n = -n$. Умножаем: $-n(n + 2) = -n^2 - 2n$.
5. Вычитаем: $(-n^2 - n) - (-n^2 - 2n) = n$.
6. Сносим $+5$, получаем $n + 5$.
7. $n \div n = 1$. Умножаем: $1(n + 2) = n + 2$.
8. Вычитаем: $(n + 5) - (n + 2) = 3$. Это остаток.

Записываем результат: $$\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2} = n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}$$

Ответ: $n^2 - n + 1 + \frac{3}{n + 2}$.