Номер 193, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 193, страница 54.

Условие.

193 Найдите все целые значения n, при которых значение дроби есть число целое:

a) $ \frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1} $;

б) $ \frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1}$ было целым числом при целых $n$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби. Для этого можно разделить многочлен $2n^2 + 7n + 3$ на многочлен $2n - 1$ столбиком или преобразовать числитель.

Преобразуем числитель, выделив в нем слагаемые, кратные знаменателю $(2n-1)$:

$2n^2 + 7n + 3 = (2n^2 - n) + 8n + 3 = n(2n - 1) + (8n - 4) + 7 = n(2n - 1) + 4(2n - 1) + 7 = (n + 4)(2n - 1) + 7$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(n + 4)(2n - 1) + 7}{2n - 1} = \frac{(n + 4)(2n - 1)}{2n - 1} + \frac{7}{2n - 1} = n + 4 + \frac{7}{2n - 1}$.

Поскольку $n$ — целое число, выражение $n + 4$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{7}{2n - 1}$ была целым числом. Это возможно только тогда, когда знаменатель $2n - 1$ является делителем числа 7.

Целые делители числа 7: $\{-7, -1, 1, 7\}$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. $2n - 1 = 1 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$.

2. $2n - 1 = -1 \Rightarrow 2n = 0 \Rightarrow n = 0$.

3. $2n - 1 = 7 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4$.

4. $2n - 1 = -7 \Rightarrow 2n = -6 \Rightarrow n = -3$.

Все найденные значения $n$ являются целыми числами.

Ответ: $n \in \{-3, 0, 1, 4\}$.

б)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2}$ было целым числом при целых $n$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби, разделив многочлен в числителе на многочлен в знаменателе.

Выполним деление многочленов (например, столбиком или по схеме Горнера). В результате деления получим:

$\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} = 2n^2 + 5n + 7 + \frac{10}{n - 2}$.

Поскольку $n$ — целое число, выражение $2n^2 + 5n + 7$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n - 2}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $n - 2$ является делителем числа 10.

Целые делители числа 10: $\{-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10\}$.

Рассмотрим все возможные случаи для $n - 2$ и найдем соответствующие значения $n$:

1. $n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3$.

2. $n - 2 = -1 \Rightarrow n = 1$.

3. $n - 2 = 2 \Rightarrow n = 4$.

4. $n - 2 = -2 \Rightarrow n = 0$.

5. $n - 2 = 5 \Rightarrow n = 7$.

6. $n - 2 = -5 \Rightarrow n = -3$.

7. $n - 2 = 10 \Rightarrow n = 12$.

8. $n - 2 = -10 \Rightarrow n = -8$.

Все найденные значения $n$ являются целыми числами.

Ответ: $n \in \{-8, -3, 0, 1, 3, 4, 7, 12\}$.