Номер 188, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 188, страница 51.

Условие.

Решите задачу (188–189).

188 Два слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой — 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть масса первого слитка (содержащего 35 % серебра) равна $x$ граммов, а масса второго слитка (содержащего 65 % серебра) — $y$ граммов.

Суммарная масса двух слитков равна массе полученного слитка, то есть 20 г. На основе этого составим первое уравнение:

$x + y = 20$

Теперь рассмотрим массу чистого серебра. Масса серебра в первом слитке составляет 35 % от его массы, то есть $0.35x$ г. Масса серебра во втором слитке составляет 65 % от его массы, то есть $0.65y$ г. Масса серебра в итоговом слитке составляет 47 % от его общей массы (20 г), что равно $0.47 \cdot 20 = 9.4$ г.

Сумма масс серебра в исходных слитках должна быть равна массе серебра в полученном сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.35x + 0.65y = 9.4$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 20 \\ 0.35x + 0.65y = 9.4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 20 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.35(20 - y) + 0.65y = 9.4$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$7 - 0.35y + 0.65y = 9.4$

$0.30y = 9.4 - 7$

$0.30y = 2.4$

$y = \frac{2.4}{0.30}$

$y = 8$

Таким образом, масса второго слитка (с 65 % содержанием серебра) составляет 8 г.

Теперь найдем массу первого слитка, подставив найденное значение $y$ в выражение $x = 20 - y$:

$x = 20 - 8 = 12$

Масса первого слитка (с 35 % содержанием серебра) составляет 12 г.

Выполним проверку. Общая масса: $12 \text{ г} + 8 \text{ г} = 20 \text{ г}$. Масса серебра: $0.35 \cdot 12 + 0.65 \cdot 8 = 4.2 + 5.2 = 9.4$ г. Процент серебра в сплаве: $\frac{9.4}{20} \cdot 100\% = 47\%$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: масса первого слитка равна 12 г, а масса второго слитка — 8 г.