Страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

187 Сколько граммов $30\text{ %}$-ного раствора соли надо добавить к 80 г $12\text{ %}$-ного раствора этой же соли, чтобы получить $20\text{ %}$-ный раствор соли?

Совет. При составлении уравнения рассуждайте так же, как в задаче 186.

Для решения этой задачи составим уравнение, основываясь на массе чистого вещества (соли) в растворах.

1. Найдем массу соли в исходном растворе.
У нас есть 80 г 12 %-ного раствора. Массовая доля соли составляет 12 %, или 0,12.
Масса соли в этом растворе:
$m_1 = 80 \cdot 0.12 = 9.6$ г.

2. Обозначим неизвестную массу.
Пусть $x$ г — это масса 30 %-ного раствора, которую нужно добавить. Массовая доля соли в этом растворе составляет 30 %, или 0,3.
Масса соли в добавляемом растворе:
$m_2 = x \cdot 0.3 = 0.3x$ г.

3. Опишем конечный раствор.
При смешивании двух растворов их массы складываются. Масса конечного раствора будет:
$m_{общ} = 80 + x$ г.
Масса соли в конечном растворе также является суммой масс соли из двух исходных растворов:
$m_{соли\_общ} = m_1 + m_2 = 9.6 + 0.3x$ г.

4. Составим и решим уравнение.
По условию, конечный раствор должен быть 20 %-ным. Это значит, что масса соли в нем составляет 20 % (или 0,2) от его общей массы.
$m_{соли\_общ} = m_{общ} \cdot 0.2$
Подставим выражения из предыдущих пунктов:
$9.6 + 0.3x = (80 + x) \cdot 0.2$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$9.6 + 0.3x = 16 + 0.2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$0.3x - 0.2x = 16 - 9.6$
$0.1x = 6.4$
$x = \frac{6.4}{0.1}$
$x = 64$

Таким образом, для получения 20 %-ного раствора необходимо добавить 64 грамма 30 %-ного раствора соли.

Ответ: 64 г.

Решите задачу (188–189).

188 Два слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой — 65 %, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47 % серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть масса первого слитка (содержащего 35 % серебра) равна $x$ граммов, а масса второго слитка (содержащего 65 % серебра) — $y$ граммов.

Суммарная масса двух слитков равна массе полученного слитка, то есть 20 г. На основе этого составим первое уравнение:

$x + y = 20$

Теперь рассмотрим массу чистого серебра. Масса серебра в первом слитке составляет 35 % от его массы, то есть $0.35x$ г. Масса серебра во втором слитке составляет 65 % от его массы, то есть $0.65y$ г. Масса серебра в итоговом слитке составляет 47 % от его общей массы (20 г), что равно $0.47 \cdot 20 = 9.4$ г.

Сумма масс серебра в исходных слитках должна быть равна массе серебра в полученном сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.35x + 0.65y = 9.4$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 20 \\ 0.35x + 0.65y = 9.4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 20 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.35(20 - y) + 0.65y = 9.4$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$7 - 0.35y + 0.65y = 9.4$

$0.30y = 9.4 - 7$

$0.30y = 2.4$

$y = \frac{2.4}{0.30}$

$y = 8$

Таким образом, масса второго слитка (с 65 % содержанием серебра) составляет 8 г.

Теперь найдем массу первого слитка, подставив найденное значение $y$ в выражение $x = 20 - y$:

$x = 20 - 8 = 12$

Масса первого слитка (с 35 % содержанием серебра) составляет 12 г.

Выполним проверку. Общая масса: $12 \text{ г} + 8 \text{ г} = 20 \text{ г}$. Масса серебра: $0.35 \cdot 12 + 0.65 \cdot 8 = 4.2 + 5.2 = 9.4$ г. Процент серебра в сплаве: $\frac{9.4}{20} \cdot 100\% = 47\%$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: масса первого слитка равна 12 г, а масса второго слитка — 8 г.

189 Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящие годовой доход в $12 \%$ и $15 \%$. В первое он внёс на 300 тыс. р. больше, чем во второе, и получил в нём за год на 6 тыс. р. больше. Сколько рублей внёс инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ тыс. рублей — это сумма, которую инвестиционный фонд вложил во второе предприятие. Согласно условию, в первое предприятие он внёс на 300 тыс. рублей больше, то есть $(x + 300)$ тыс. рублей.

Годовой доход от первого предприятия составляет $12\%$ от вложенной суммы. Годовой доход от второго предприятия — $15\%$. Выразим процентные ставки в виде десятичных дробей: $12\% = 0.12$ и $15\% = 0.15$.

Тогда годовой доход от первого предприятия равен $0.12 \cdot (x + 300)$ тыс. рублей.

Годовой доход от второго предприятия равен $0.15 \cdot x$ тыс. рублей.

Известно, что доход от первого предприятия за год был на 6 тыс. рублей больше, чем от второго. На основе этого составим уравнение:

$0.12(x + 300) = 0.15x + 6$

Решим это уравнение относительно $x$:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$0.12x + 0.12 \cdot 300 = 0.15x + 6$

$0.12x + 36 = 0.15x + 6$

2. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$36 - 6 = 0.15x - 0.12x$

$30 = 0.03x$

3. Найдем $x$:

$x = \frac{30}{0.03}$

$x = 1000$

Таким образом, сумма, вложенная во второе предприятие, составляет 1000 тыс. рублей, то есть 1 000 000 рублей.

Теперь найдем сумму, вложенную в первое предприятие:

$x + 300 = 1000 + 300 = 1300$

Следовательно, в первое предприятие было вложено 1300 тыс. рублей, то есть 1 300 000 рублей.

Ответ: инвестиционный фонд внёс 1 300 000 рублей в первое предприятие и 1 000 000 рублей во второе предприятие.