Страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

157 Найдите значение выражения:

a) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10};$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4};$

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}};$

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}.$

а) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot (\frac{1}{9})^{10}$

Для решения приведем все множители к основанию 3.
Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$3^{10} \cdot (3^4)^3 \cdot (3^{-2})^{10}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$3^{10} \cdot 3^{4 \cdot 3} \cdot 3^{-2 \cdot 10} = 3^{10} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-20}$
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^{10+12-20} = 3^{22-20} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

б) $(\frac{1}{5})^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}$

Приведем все множители к основанию 5.
Мы знаем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$(5^{-1})^{-25} \cdot (5^2)^{-6} \cdot (5^3)^{-4}$
Упростим, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{(-1) \cdot (-25)} \cdot 5^{2 \cdot (-6)} \cdot 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{25} \cdot 5^{-12} \cdot 5^{-12}$
Теперь сложим показатели степеней:
$5^{25 - 12 - 12} = 5^{25 - 24} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, чтобы избавиться от отрицательных показателей:
$\frac{81^2 \cdot 32^2}{6^{10}}$
Теперь разложим основания на простые множители: $81 = 3^4$, $32 = 2^5$, $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим в выражение:
$\frac{(3^4)^2 \cdot (2^5)^2}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Применим свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^{4 \cdot 2} \cdot 2^{5 \cdot 2}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{3^8 \cdot 2^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{8-10} \cdot 2^{10-10} = 3^{-2} \cdot 2^0 = 3^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}$

Избавимся от отрицательных показателей, переместив множители из числителя в знаменатель и наоборот:
$\frac{30^7}{20^4 \cdot 15^3}$
Разложим основания на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(2 \cdot 3 \cdot 5)^7}{(2^2 \cdot 5)^4 \cdot (3 \cdot 5)^3}$
Раскроем скобки, используя свойства степеней:
$\frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{(2^2)^4 \cdot 5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = \frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3}$
Сгруппируем степени с одинаковым основанием в знаменателе:
$\frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^{4+3}} = \frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^7}$
Сократим дробь:
$2^{7-8} \cdot 3^{7-3} \cdot 5^{7-7} = 2^{-1} \cdot 3^4 \cdot 5^0 = \frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 1 = \frac{81}{2} = 40,5$.
Ответ: 40,5

158 Известно, что $2^n = a$. Выразите через $a$:

а) $2^{n+1}$;

б) $2^{n+2}$;

в) $2^{2n+1}$;

г) $2^{n-1}$.

а) Для того чтобы выразить $2^{n+1}$ через $a$, воспользуемся свойством степеней о произведении степеней с одинаковым основанием: $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.
Применим это свойство к нашему выражению: $2^{n+1} = 2^n \cdot 2^1$.
По условию задачи нам известно, что $2^n = a$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2^n \cdot 2^1 = a \cdot 2 = 2a$.
Ответ: $2a$.

б) Аналогично пункту а), для выражения $2^{n+2}$ через $a$ используем свойство $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$.
$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2$.
Зная, что $2^n = a$ и $2^2 = 4$, мы можем выполнить подстановку:
$2^n \cdot 2^2 = a \cdot 4 = 4a$.
Ответ: $4a$.

в) Чтобы выразить $2^{2n+1}$ через $a$, нам понадобятся два свойства степеней: свойство произведения степеней ($x^{m+k} = x^m \cdot x^k$) и свойство возведения степени в степень ($x^{m \cdot k} = (x^m)^k$).
Сначала представим $2^{2n+1}$ как произведение: $2^{2n+1} = 2^{2n} \cdot 2^1$.
Теперь преобразуем множитель $2^{2n}$, используя второе свойство: $2^{2n} = 2^{n \cdot 2} = (2^n)^2$.
По условию $2^n = a$, следовательно, $(2^n)^2 = a^2$.
Теперь соберем все вместе: $2^{2n+1} = (2^n)^2 \cdot 2^1 = a^2 \cdot 2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

г) Для выражения $2^{n-1}$ через $a$ используем свойство степеней о частном степеней с одинаковым основанием: $x^{m-k} = \frac{x^m}{x^k}$.
Применим это свойство: $2^{n-1} = \frac{2^n}{2^1}$.
Подставляем известное из условия значение $2^n = a$:
$\frac{2^n}{2^1} = \frac{a}{2}$.
Ответ: $\frac{a}{2}$.

Сократите дробь (159—161).

159 a) $\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^n}$;

б) $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$;

В) $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$;

Г) $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^n}$, разложим знаменатель на простые множители. Поскольку $15 = 5 \cdot 3$, то $15^n = (5 \cdot 3)^n = 5^n \cdot 3^n$.

Подставим это выражение в знаменатель дроби:

$\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{5^n \cdot 3^n}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{5^{n+1}}{5^n} \cdot \frac{3^{n-1}}{3^n} = 5^{(n+1)-n} \cdot 3^{(n-1)-n} = 5^1 \cdot 3^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

б) Для сокращения дроби $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$ разложим числитель на простые множители. Так как $14 = 2 \cdot 7$, то $14^n = (2 \cdot 7)^n = 2^n \cdot 7^n$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{2^n \cdot 7^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^n}{2^{n-2}} \cdot \frac{7^n}{7^{n+2}} = 2^{n-(n-2)} \cdot 7^{n-(n+2)} = 2^{n-n+2} \cdot 7^{n-n-2} = 2^2 \cdot 7^{-2} = 4 \cdot \frac{1}{7^2} = \frac{4}{49}$.

Ответ: $\frac{4}{49}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$. Разложим число 12 в числителе на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Следовательно, $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.

Подставим это в нашу дробь:

$\frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней:

$\frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} = 2^{2n-(2n+1)} \cdot 3^{n-(n-1)} = 2^{2n-2n-1} \cdot 3^{n-n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$, разложим знаменатель на простые множители. Поскольку $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$, то $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{2^{2n} \cdot 5^{2n}}$

Сгруппируем степени по основаниям и применим свойство частного степеней:

$\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} \cdot \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}} = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 5^{(2n+1)-2n} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{2}$.

160 a) $\frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^{3} + a^{2} + a}$

б) $\frac{1 + d^{3} + d^{5}}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}}$

а)

Чтобы упростить данное выражение, преобразуем числитель и знаменатель дроби, вынеся общий множитель за скобки.
Исходное выражение: $ \frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^3 + a^2 + a} $.
В числителе вынесем за скобки член с наименьшей степенью, то есть $a^{-3}$:
$a^{-1} + a^{-2} + a^{-3} = a^{-3}(a^2 + a^1 + 1) = a^{-3}(a^2 + a + 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки член с наименьшей степенью, то есть $a$:
$a^3 + a^2 + a = a(a^2 + a + 1)$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{a^{-3}(a^2 + a + 1)}{a(a^2 + a + 1)} $.
Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{a^{-3}}{a} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ a^{-3-1} = a^{-4} $.
Ответ: $a^{-4}$.

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $d^{-6}$:
$d^{-6} + d^{-3} + d^{-1} = d^{-6}(1 + d^{-3 - (-6)} + d^{-1 - (-6)}) = d^{-6}(1 + d^3 + d^5)$.
Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6}(1 + d^3 + d^5)} $.
Сократим общий множитель $(1 + d^3 + d^5)$:
$ \frac{1}{d^{-6}} $.
По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, следовательно, $ \frac{1}{d^{-6}} = d^6 $.
Ответ: $d^6$.

161 a) $ \frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n} $;

б) $ \frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} $;

в) $ \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} $.

а) Исходное выражение: $ \frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n} $.
Для упрощения выражения вынесем в числителе общий множитель $2^n$ за скобки. Для этого используем свойство степени $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
$2^n + 2^{n+2} = 2^n + 2^n \cdot 2^2 = 2^n(1 + 2^2) = 2^n(1+4) = 5 \cdot 2^n$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{5 \cdot 2^n}{10 \cdot 2^n} $
Сократим дробь на общий множитель $2^n$ (так как для любого $n$ значение $2^n \neq 0$) и на число 5:
$ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5 $
Ответ: $0.5$

б) Исходное выражение: $ \frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} $.
Разделим каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в знаменателе стоит одночлен.
$ \frac{10^{n+2}}{10^n} - \frac{10^{n-2}}{10^n} $
Теперь воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $.
Для первого члена: $ \frac{10^{n+2}}{10^n} = 10^{(n+2)-n} = 10^2 = 100 $.
Для второго члена: $ \frac{10^{n-2}}{10^n} = 10^{(n-2)-n} = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 $.
Теперь выполним вычитание полученных результатов:
$ 100 - 0.01 = 99.99 $
Ответ: $99.99$

в) Исходное выражение: $ \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} $.
Как и в предыдущем примере, разделим почленно числитель на знаменатель:
$ \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} - \frac{3^{n-1}}{3^{n-2}} $
Применим свойство частного степеней $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $ к каждому члену выражения.
Для первого члена: $ \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} = 3^{(n+1)-(n-2)} = 3^{n+1-n+2} = 3^3 = 27 $.
Для второго члена: $ \frac{3^{n-1}}{3^{n-2}} = 3^{(n-1)-(n-2)} = 3^{n-1-n+2} = 3^1 = 3 $.
Выполним вычитание:
$ 27 - 3 = 24 $
Ответ: $24$

162 Преобразуйте в дробь выражение:

а) $(x^{-2} - y^{-2}):(x^{-1} + y^{-1});$

б) $(m+n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1});$

В) $(a+b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2});$

Г) $(xy^{-1} - x^{-1}y):(x-y).$

а) $(x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(x^{-2} - y^{-2}) = (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2})$

$(x^{-1} + y^{-1}) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

3. Приведем дроби в каждой скобке к общему знаменателю:

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$

4. Выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} : \frac{y + x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x + y}$

5. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(y - x)(y + x)}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x + y}$

6. Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$:

$\frac{(y - x)\cancel{(y + x)}}{x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x + y}} = \frac{y - x}{xy}$

Ответ: $\frac{y - x}{xy}$

б) $(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями:

$(m + n)^{-1} = \frac{1}{m+n}$

$(m^{-1} + n^{-1}) = (\frac{1}{m} + \frac{1}{n})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\frac{1}{m+n} \cdot (\frac{1}{m} + \frac{1}{n})$

3. Приведем дробь в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n+m}{mn}$

4. Выполним умножение:

$\frac{1}{m+n} \cdot \frac{m+n}{mn}$

5. Сократим общий множитель $(m+n)$:

$\frac{1}{\cancel{m+n}} \cdot \frac{\cancel{m+n}}{mn} = \frac{1}{mn}$

Ответ: $\frac{1}{mn}$

в) $(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями:

$(a + b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2}$

$(a^{-2} - b^{-2}) = (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$

3. Приведем дробь в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

4. Выполним умножение:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

5. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{(b - a)(b + a)}{a^2b^2}$

6. Сократим общий множитель $(a+b)$ (так как $b+a = a+b$):

$\frac{1}{(a+b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{(b - a)\cancel{(a + b)}}{a^2b^2} = \frac{b - a}{(a+b)a^2b^2}$

Ответ: $\frac{b - a}{a^2b^2(a+b)}$

г) $(xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y)$

1. Преобразуем выражение в первых скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$xy^{-1} - x^{-1}y = x \cdot \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \cdot y = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

2. Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

3. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} : (x - y)$

4. Заменим деление на умножение на обратное выражение:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{1}{x - y}$

5. Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$

6. Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} = \frac{x+y}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y}{xy}$

163 РАССУЖДАЕМ Расположите числа в порядке возрастания:

a) $8,7 \cdot 10^{-7}$; $65 \cdot 10^{-5}$; $0,12 \cdot 10^{-6}$; $940 \cdot 10^{-12}$;

б) $4,5 \cdot 10^{-15}$; $0,015 \cdot 10^{-18}$; $434 \cdot 10^{-13}$; $61 \cdot 10^{-13}$.

а) Чтобы сравнить данные числа, необходимо привести их к одинаковому показателю степени у множителя 10. В качестве общего показателя удобно выбрать $-7$.

• Число $8,7 \cdot 10^{-7}$ уже имеет нужный показатель.
• Преобразуем $65 \cdot 10^{-5}$: чтобы получить $10^{-7}$, нужно показатель $-5$ уменьшить на 2. Для этого мы умножаем на $10^{-2}$ и, чтобы число не изменилось, одновременно умножаем на $10^2$.
  $65 \cdot 10^{-5} = (65 \cdot 10^2) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{-2}) = 6500 \cdot 10^{-7}$.
• Преобразуем $0,12 \cdot 10^{-6}$: чтобы получить $10^{-7}$, нужно показатель $-6$ уменьшить на 1.
  $0,12 \cdot 10^{-6} = (0,12 \cdot 10^1) \cdot (10^{-6} \cdot 10^{-1}) = 1,2 \cdot 10^{-7}$.
• Преобразуем $940 \cdot 10^{-12}$: чтобы получить $10^{-7}$, нужно показатель $-12$ увеличить на 5.
  $940 \cdot 10^{-12} = (940 \cdot 10^{-5}) \cdot (10^{-12} \cdot 10^5) = 0,0094 \cdot 10^{-7}$.

Теперь у нас есть четыре числа с одинаковым показателем степени: $8,7 \cdot 10^{-7}$; $6500 \cdot 10^{-7}$; $1,2 \cdot 10^{-7}$; $0,0094 \cdot 10^{-7}$.

Чтобы расположить их в порядке возрастания, достаточно сравнить их коэффициенты (множители перед $10^{-7}$):

$0,0094 < 1,2 < 8,7 < 6500$.

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания будут:

$940 \cdot 10^{-12}$; $0,12 \cdot 10^{-6}$; $8,7 \cdot 10^{-7}$; $65 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: $940 \cdot 10^{-12}$; $0,12 \cdot 10^{-6}$; $8,7 \cdot 10^{-7}$; $65 \cdot 10^{-5}$.

б) Поступим аналогичным образом. Приведем все числа к общему показателю степени, например, к $-13$.

• Преобразуем $4,5 \cdot 10^{-15}$:
  $4,5 \cdot 10^{-15} = (4,5 \cdot 10^{-2}) \cdot (10^{-15} \cdot 10^2) = 0,045 \cdot 10^{-13}$.
• Преобразуем $0,015 \cdot 10^{-18}$:
  $0,015 \cdot 10^{-18} = (0,015 \cdot 10^{-5}) \cdot (10^{-18} \cdot 10^5) = 0,0000015 \cdot 10^{-13}$.
• Число $434 \cdot 10^{-13}$ уже имеет нужный показатель.
• Число $61 \cdot 10^{-13}$ также уже имеет нужный показатель.

Теперь сравним коэффициенты у чисел $0,045 \cdot 10^{-13}$; $0,0000015 \cdot 10^{-13}$; $434 \cdot 10^{-13}$; $61 \cdot 10^{-13}$.

Расположим коэффициенты в порядке возрастания:

$0,0000015 < 0,045 < 61 < 434$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так:

$0,015 \cdot 10^{-18}$; $4,5 \cdot 10^{-15}$; $61 \cdot 10^{-13}$; $434 \cdot 10^{-13}$.

Ответ: $0,015 \cdot 10^{-18}$; $4,5 \cdot 10^{-15}$; $61 \cdot 10^{-13}$; $434 \cdot 10^{-13}$.

164 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

В таблице даны некоторые значения выражения $x^n$. Заполните таблицу, вписывая в свободные клетки произведения или частные содержащихся в ней чисел (например, так, как это сделано на пересечении строки 4 и столбца 6). Сравните свои результаты с результатами соседа по парте. (У вас могли получиться разные выражения.)

x \ n 2 3 4 5 6 7 8 -5

2 4 8 16 32 64 128 256

3 9 27 81

4 16 64 $256 \cdot 16$

6 36

Задача состоит в заполнении пустых ячеек таблицы значениями выражения $x^n$. Для этого нужно использовать произведения или частные чисел, уже имеющихся в таблице. Решение для каждой пустой ячейки представлено ниже. Заметим, что возможны и другие варианты выражений.

Клетка (x=2, n=-5)
Требуется найти значение $2^{-5}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$. Мы можем представить $-5$ как разность показателей степеней, которые есть в таблице для основания 2, например, $3-8=-5$. В таблице даны $2^3=8$ и $2^8=256$.
Следовательно, $2^{-5} = 2^{3-8} = 2^3 / 2^8 = 8 / 256$.
Ответ: $8 / 256$

Клетка (x=3, n=5)
Требуется найти значение $3^5$. Используем свойство $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$. Представим $5$ как сумму показателей, имеющихся в таблице для основания 3: $5 = 2+3$. В таблице даны $3^2=9$ и $3^3=27$.
Следовательно, $3^5 = 3^{2+3} = 3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27$.
Ответ: $9 \cdot 27$

Клетка (x=3, n=6)
Требуется найти значение $3^6$. Представим $6$ как $2+4$ или как $3 \cdot 2$. Используем $3^6 = 3^{2+4} = 3^2 \cdot 3^4$. В таблице есть $3^2=9$ и $3^4=81$.
Следовательно, $3^6 = 9 \cdot 81$. Другой вариант: $3^6 = (3^3)^2 = 27 \cdot 27$.
Ответ: $9 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=7)
Требуется найти значение $3^7$. Представим $7$ как $3+4$. В таблице есть $3^3=27$ и $3^4=81$.
Следовательно, $3^7 = 3^{3+4} = 3^3 \cdot 3^4 = 27 \cdot 81$.
Ответ: $27 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=8)
Требуется найти значение $3^8$. Представим $8$ как $4+4$. В таблице есть $3^4=81$.
Следовательно, $3^8 = 3^{4+4} = 3^4 \cdot 3^4 = 81 \cdot 81$.
Ответ: $81 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=-5)
Требуется найти значение $3^{-5}$. Представим $-5$ как $3-8$. В таблице есть $3^3=27$. Значение $3^8$ мы можем выразить как $81 \cdot 81$.
Следовательно, $3^{-5} = 3^{3-8} = 3^3 / 3^8 = 27 / (81 \cdot 81)$.
Ответ: $27 / (81 \cdot 81)$

Клетка (x=4, n=4)
Требуется найти значение $4^4$. Мы можем представить $4^4$ как $(4^2)^2 = 4^2 \cdot 4^2$. В таблице есть $4^2=16$.
Следовательно, $4^4 = 16 \cdot 16$. Также можно заметить, что $4^4 = (2^2)^4 = 2^8$, а значение $2^8=256$ есть в таблице.
Ответ: $16 \cdot 16$

Клетка (x=4, n=5)
Требуется найти значение $4^5$. Представим $4^5$ как $4^{2+3} = 4^2 \cdot 4^3$. В таблице есть $4^2=16$ и $4^3=64$.
Следовательно, $4^5 = 16 \cdot 64$.
Ответ: $16 \cdot 64$

Клетка (x=4, n=6)
Требуется найти значение $4^6$. Это пример, приведенный в условии. $4^6=(2^2)^6=2^{12}$. Используя числа из таблицы, $2^{12} = 2^8 \cdot 2^4 = 256 \cdot 16$.
Другой вариант: $4^6 = (4^3)^2 = 64 \cdot 64$.
Ответ: $256 \cdot 16$

Клетка (x=4, n=7)
Требуется найти значение $4^7$. Представим как $4^7=(2^2)^7=2^{14}=2^7 \cdot 2^7$. В таблице есть $2^7=128$.
Следовательно, $4^7 = 128 \cdot 128$.
Ответ: $128 \cdot 128$

Клетка (x=4, n=8)
Требуется найти значение $4^8$. Представим как $4^8=(2^2)^8=2^{16}=2^8 \cdot 2^8$. В таблице есть $2^8=256$.
Следовательно, $4^8 = 256 \cdot 256$.
Ответ: $256 \cdot 256$

Клетка (x=4, n=-5)
Требуется найти значение $4^{-5}$. Представим как $4^{-5}=(2^2)^{-5}=2^{-10}=2^{2-12}=2^2/2^{12}$. В таблице есть $2^2=4$. Значение $2^{12}$ можно получить как $2^6 \cdot 2^6 = 64 \cdot 64$.
Следовательно, $4^{-5} = 4 / (64 \cdot 64)$.
Ответ: $4 / (64 \cdot 64)$

Клетка (x=6, n=3)
Требуется найти значение $6^3$. Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$. В таблице есть $2^3=8$ и $3^3=27$.
Следовательно, $6^3 = 8 \cdot 27$.
Ответ: $8 \cdot 27$

Клетка (x=6, n=4)
Требуется найти значение $6^4$. Представим $6^4$ как $(6^2)^2 = 36 \cdot 36$. Значение $6^2=36$ есть в таблице. Другой вариант: $6^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81$.
Ответ: $16 \cdot 81$

Клетка (x=6, n=5)
Требуется найти значение $6^5$. Представим как $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$. В таблице есть $2^5=32$. Значение $3^5$ можно получить как $3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27$.
Следовательно, $6^5 = 32 \cdot (9 \cdot 27)$.
Ответ: $32 \cdot (9 \cdot 27)$

Клетка (x=6, n=6)
Требуется найти значение $6^6$. Представим как $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$. В таблице есть $2^6=64$. Значение $3^6$ можно получить как $3^2 \cdot 3^4 = 9 \cdot 81$.
Следовательно, $6^6 = 64 \cdot (9 \cdot 81)$.
Ответ: $64 \cdot (9 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=7)
Требуется найти значение $6^7$. Представим как $6^7 = 2^7 \cdot 3^7$. В таблице есть $2^7=128$. Значение $3^7$ можно получить как $3^3 \cdot 3^4 = 27 \cdot 81$.
Следовательно, $6^7 = 128 \cdot (27 \cdot 81)$.
Ответ: $128 \cdot (27 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=8)
Требуется найти значение $6^8$. Представим как $6^8 = 2^8 \cdot 3^8$. В таблице есть $2^8=256$. Значение $3^8$ можно получить как $3^4 \cdot 3^4 = 81 \cdot 81$.
Следовательно, $6^8 = 256 \cdot (81 \cdot 81)$.
Ответ: $256 \cdot (81 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=-5)
Требуется найти значение $6^{-5}$. Представим как $6^{-5} = 6^{3-8} = 6^3 / 6^8$. Значение $6^3$ мы нашли как $8 \cdot 27$. Значение $6^8$ мы нашли как $256 \cdot (81 \cdot 81)$.
Следовательно, $6^{-5} = (8 \cdot 27) / (256 \cdot (81 \cdot 81))$.
Ответ: $(8 \cdot 27) / (256 \cdot (81 \cdot 81))$