Номер 164, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 164, страница 45.

Условие.

164 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

В таблице даны некоторые значения выражения $x^n$. Заполните таблицу, вписывая в свободные клетки произведения или частные содержащихся в ней чисел (например, так, как это сделано на пересечении строки 4 и столбца 6). Сравните свои результаты с результатами соседа по парте. (У вас могли получиться разные выражения.)

x \ n 2 3 4 5 6 7 8 -5

2 4 8 16 32 64 128 256

3 9 27 81

4 16 64 $256 \cdot 16$

6 36

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит в заполнении пустых ячеек таблицы значениями выражения $x^n$. Для этого нужно использовать произведения или частные чисел, уже имеющихся в таблице. Решение для каждой пустой ячейки представлено ниже. Заметим, что возможны и другие варианты выражений.

Клетка (x=2, n=-5)
Требуется найти значение $2^{-5}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$. Мы можем представить $-5$ как разность показателей степеней, которые есть в таблице для основания 2, например, $3-8=-5$. В таблице даны $2^3=8$ и $2^8=256$.
Следовательно, $2^{-5} = 2^{3-8} = 2^3 / 2^8 = 8 / 256$.
Ответ: $8 / 256$

Клетка (x=3, n=5)
Требуется найти значение $3^5$. Используем свойство $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$. Представим $5$ как сумму показателей, имеющихся в таблице для основания 3: $5 = 2+3$. В таблице даны $3^2=9$ и $3^3=27$.
Следовательно, $3^5 = 3^{2+3} = 3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27$.
Ответ: $9 \cdot 27$

Клетка (x=3, n=6)
Требуется найти значение $3^6$. Представим $6$ как $2+4$ или как $3 \cdot 2$. Используем $3^6 = 3^{2+4} = 3^2 \cdot 3^4$. В таблице есть $3^2=9$ и $3^4=81$.
Следовательно, $3^6 = 9 \cdot 81$. Другой вариант: $3^6 = (3^3)^2 = 27 \cdot 27$.
Ответ: $9 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=7)
Требуется найти значение $3^7$. Представим $7$ как $3+4$. В таблице есть $3^3=27$ и $3^4=81$.
Следовательно, $3^7 = 3^{3+4} = 3^3 \cdot 3^4 = 27 \cdot 81$.
Ответ: $27 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=8)
Требуется найти значение $3^8$. Представим $8$ как $4+4$. В таблице есть $3^4=81$.
Следовательно, $3^8 = 3^{4+4} = 3^4 \cdot 3^4 = 81 \cdot 81$.
Ответ: $81 \cdot 81$

Клетка (x=3, n=-5)
Требуется найти значение $3^{-5}$. Представим $-5$ как $3-8$. В таблице есть $3^3=27$. Значение $3^8$ мы можем выразить как $81 \cdot 81$.
Следовательно, $3^{-5} = 3^{3-8} = 3^3 / 3^8 = 27 / (81 \cdot 81)$.
Ответ: $27 / (81 \cdot 81)$

Клетка (x=4, n=4)
Требуется найти значение $4^4$. Мы можем представить $4^4$ как $(4^2)^2 = 4^2 \cdot 4^2$. В таблице есть $4^2=16$.
Следовательно, $4^4 = 16 \cdot 16$. Также можно заметить, что $4^4 = (2^2)^4 = 2^8$, а значение $2^8=256$ есть в таблице.
Ответ: $16 \cdot 16$

Клетка (x=4, n=5)
Требуется найти значение $4^5$. Представим $4^5$ как $4^{2+3} = 4^2 \cdot 4^3$. В таблице есть $4^2=16$ и $4^3=64$.
Следовательно, $4^5 = 16 \cdot 64$.
Ответ: $16 \cdot 64$

Клетка (x=4, n=6)
Требуется найти значение $4^6$. Это пример, приведенный в условии. $4^6=(2^2)^6=2^{12}$. Используя числа из таблицы, $2^{12} = 2^8 \cdot 2^4 = 256 \cdot 16$.
Другой вариант: $4^6 = (4^3)^2 = 64 \cdot 64$.
Ответ: $256 \cdot 16$

Клетка (x=4, n=7)
Требуется найти значение $4^7$. Представим как $4^7=(2^2)^7=2^{14}=2^7 \cdot 2^7$. В таблице есть $2^7=128$.
Следовательно, $4^7 = 128 \cdot 128$.
Ответ: $128 \cdot 128$

Клетка (x=4, n=8)
Требуется найти значение $4^8$. Представим как $4^8=(2^2)^8=2^{16}=2^8 \cdot 2^8$. В таблице есть $2^8=256$.
Следовательно, $4^8 = 256 \cdot 256$.
Ответ: $256 \cdot 256$

Клетка (x=4, n=-5)
Требуется найти значение $4^{-5}$. Представим как $4^{-5}=(2^2)^{-5}=2^{-10}=2^{2-12}=2^2/2^{12}$. В таблице есть $2^2=4$. Значение $2^{12}$ можно получить как $2^6 \cdot 2^6 = 64 \cdot 64$.
Следовательно, $4^{-5} = 4 / (64 \cdot 64)$.
Ответ: $4 / (64 \cdot 64)$

Клетка (x=6, n=3)
Требуется найти значение $6^3$. Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$. В таблице есть $2^3=8$ и $3^3=27$.
Следовательно, $6^3 = 8 \cdot 27$.
Ответ: $8 \cdot 27$

Клетка (x=6, n=4)
Требуется найти значение $6^4$. Представим $6^4$ как $(6^2)^2 = 36 \cdot 36$. Значение $6^2=36$ есть в таблице. Другой вариант: $6^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81$.
Ответ: $16 \cdot 81$

Клетка (x=6, n=5)
Требуется найти значение $6^5$. Представим как $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$. В таблице есть $2^5=32$. Значение $3^5$ можно получить как $3^2 \cdot 3^3 = 9 \cdot 27$.
Следовательно, $6^5 = 32 \cdot (9 \cdot 27)$.
Ответ: $32 \cdot (9 \cdot 27)$

Клетка (x=6, n=6)
Требуется найти значение $6^6$. Представим как $6^6 = 2^6 \cdot 3^6$. В таблице есть $2^6=64$. Значение $3^6$ можно получить как $3^2 \cdot 3^4 = 9 \cdot 81$.
Следовательно, $6^6 = 64 \cdot (9 \cdot 81)$.
Ответ: $64 \cdot (9 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=7)
Требуется найти значение $6^7$. Представим как $6^7 = 2^7 \cdot 3^7$. В таблице есть $2^7=128$. Значение $3^7$ можно получить как $3^3 \cdot 3^4 = 27 \cdot 81$.
Следовательно, $6^7 = 128 \cdot (27 \cdot 81)$.
Ответ: $128 \cdot (27 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=8)
Требуется найти значение $6^8$. Представим как $6^8 = 2^8 \cdot 3^8$. В таблице есть $2^8=256$. Значение $3^8$ можно получить как $3^4 \cdot 3^4 = 81 \cdot 81$.
Следовательно, $6^8 = 256 \cdot (81 \cdot 81)$.
Ответ: $256 \cdot (81 \cdot 81)$

Клетка (x=6, n=-5)
Требуется найти значение $6^{-5}$. Представим как $6^{-5} = 6^{3-8} = 6^3 / 6^8$. Значение $6^3$ мы нашли как $8 \cdot 27$. Значение $6^8$ мы нашли как $256 \cdot (81 \cdot 81)$.
Следовательно, $6^{-5} = (8 \cdot 27) / (256 \cdot (81 \cdot 81))$.
Ответ: $(8 \cdot 27) / (256 \cdot (81 \cdot 81))$