Номер 157, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 157, страница 45.

Условие.

157 Найдите значение выражения:

a) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10};$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4};$

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}};$

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot (\frac{1}{9})^{10}$

Для решения приведем все множители к основанию 3.
Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$3^{10} \cdot (3^4)^3 \cdot (3^{-2})^{10}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:
$3^{10} \cdot 3^{4 \cdot 3} \cdot 3^{-2 \cdot 10} = 3^{10} \cdot 3^{12} \cdot 3^{-20}$
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^{10+12-20} = 3^{22-20} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

б) $(\frac{1}{5})^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}$

Приведем все множители к основанию 5.
Мы знаем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$(5^{-1})^{-25} \cdot (5^2)^{-6} \cdot (5^3)^{-4}$
Упростим, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{(-1) \cdot (-25)} \cdot 5^{2 \cdot (-6)} \cdot 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{25} \cdot 5^{-12} \cdot 5^{-12}$
Теперь сложим показатели степеней:
$5^{25 - 12 - 12} = 5^{25 - 24} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}$

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, чтобы избавиться от отрицательных показателей:
$\frac{81^2 \cdot 32^2}{6^{10}}$
Теперь разложим основания на простые множители: $81 = 3^4$, $32 = 2^5$, $6 = 2 \cdot 3$.
Подставим в выражение:
$\frac{(3^4)^2 \cdot (2^5)^2}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Применим свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^{4 \cdot 2} \cdot 2^{5 \cdot 2}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{3^8 \cdot 2^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{8-10} \cdot 2^{10-10} = 3^{-2} \cdot 2^0 = 3^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}$

Избавимся от отрицательных показателей, переместив множители из числителя в знаменатель и наоборот:
$\frac{30^7}{20^4 \cdot 15^3}$
Разложим основания на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(2 \cdot 3 \cdot 5)^7}{(2^2 \cdot 5)^4 \cdot (3 \cdot 5)^3}$
Раскроем скобки, используя свойства степеней:
$\frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{(2^2)^4 \cdot 5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3} = \frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3}$
Сгруппируем степени с одинаковым основанием в знаменателе:
$\frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^{4+3}} = \frac{2^7 \cdot 3^7 \cdot 5^7}{2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^7}$
Сократим дробь:
$2^{7-8} \cdot 3^{7-3} \cdot 5^{7-7} = 2^{-1} \cdot 3^4 \cdot 5^0 = \frac{1}{2} \cdot 81 \cdot 1 = \frac{81}{2} = 40,5$.
Ответ: 40,5