Номер 162, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 162, страница 45.

Условие.

162 Преобразуйте в дробь выражение:

а) $(x^{-2} - y^{-2}):(x^{-1} + y^{-1});$

б) $(m+n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1});$

В) $(a+b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2});$

Г) $(xy^{-1} - x^{-1}y):(x-y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} + y^{-1})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(x^{-2} - y^{-2}) = (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2})$

$(x^{-1} + y^{-1}) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) : (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

3. Приведем дроби в каждой скобке к общему знаменателю:

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}$

4. Выполним деление дробей, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} : \frac{y + x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x + y}$

5. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(y - x)(y + x)}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{x + y}$

6. Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$:

$\frac{(y - x)\cancel{(y + x)}}{x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x + y}} = \frac{y - x}{xy}$

Ответ: $\frac{y - x}{xy}$

б) $(m + n)^{-1} \cdot (m^{-1} + n^{-1})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями:

$(m + n)^{-1} = \frac{1}{m+n}$

$(m^{-1} + n^{-1}) = (\frac{1}{m} + \frac{1}{n})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\frac{1}{m+n} \cdot (\frac{1}{m} + \frac{1}{n})$

3. Приведем дробь в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n+m}{mn}$

4. Выполним умножение:

$\frac{1}{m+n} \cdot \frac{m+n}{mn}$

5. Сократим общий множитель $(m+n)$:

$\frac{1}{\cancel{m+n}} \cdot \frac{\cancel{m+n}}{mn} = \frac{1}{mn}$

Ответ: $\frac{1}{mn}$

в) $(a + b)^{-2} \cdot (a^{-2} - b^{-2})$

1. Преобразуем выражения с отрицательными степенями:

$(a + b)^{-2} = \frac{1}{(a+b)^2}$

$(a^{-2} - b^{-2}) = (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$

2. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})$

3. Приведем дробь в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

4. Выполним умножение:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

5. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов:

$\frac{1}{(a+b)^2} \cdot \frac{(b - a)(b + a)}{a^2b^2}$

6. Сократим общий множитель $(a+b)$ (так как $b+a = a+b$):

$\frac{1}{(a+b)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{(b - a)\cancel{(a + b)}}{a^2b^2} = \frac{b - a}{(a+b)a^2b^2}$

Ответ: $\frac{b - a}{a^2b^2(a+b)}$

г) $(xy^{-1} - x^{-1}y) : (x - y)$

1. Преобразуем выражение в первых скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$xy^{-1} - x^{-1}y = x \cdot \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \cdot y = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

2. Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

3. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} : (x - y)$

4. Заменим деление на умножение на обратное выражение:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{1}{x - y}$

5. Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{x-y}$

6. Сократим общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} = \frac{x+y}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y}{xy}$