Номер 161, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 161, страница 45.

Условие.

161 a) $ \frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n} $;

б) $ \frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} $;

в) $ \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное выражение: $ \frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n} $.
Для упрощения выражения вынесем в числителе общий множитель $2^n$ за скобки. Для этого используем свойство степени $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.
$2^n + 2^{n+2} = 2^n + 2^n \cdot 2^2 = 2^n(1 + 2^2) = 2^n(1+4) = 5 \cdot 2^n$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{5 \cdot 2^n}{10 \cdot 2^n} $
Сократим дробь на общий множитель $2^n$ (так как для любого $n$ значение $2^n \neq 0$) и на число 5:
$ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5 $
Ответ: $0.5$

б) Исходное выражение: $ \frac{10^{n+2} - 10^{n-2}}{10^n} $.
Разделим каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в знаменателе стоит одночлен.
$ \frac{10^{n+2}}{10^n} - \frac{10^{n-2}}{10^n} $
Теперь воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $.
Для первого члена: $ \frac{10^{n+2}}{10^n} = 10^{(n+2)-n} = 10^2 = 100 $.
Для второго члена: $ \frac{10^{n-2}}{10^n} = 10^{(n-2)-n} = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 $.
Теперь выполним вычитание полученных результатов:
$ 100 - 0.01 = 99.99 $
Ответ: $99.99$

в) Исходное выражение: $ \frac{3^{n+1} - 3^{n-1}}{3^{n-2}} $.
Как и в предыдущем примере, разделим почленно числитель на знаменатель:
$ \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} - \frac{3^{n-1}}{3^{n-2}} $
Применим свойство частного степеней $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $ к каждому члену выражения.
Для первого члена: $ \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} = 3^{(n+1)-(n-2)} = 3^{n+1-n+2} = 3^3 = 27 $.
Для второго члена: $ \frac{3^{n-1}}{3^{n-2}} = 3^{(n-1)-(n-2)} = 3^{n-1-n+2} = 3^1 = 3 $.
Выполним вычитание:
$ 27 - 3 = 24 $
Ответ: $24$