Номер 156, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 156, страница 44.

Условие.

156 Представьте в виде степени с основанием 2:

a) $4^x \cdot 4^y$; $8^x : 8^y$; $\left(\left(\frac{1}{4}\right)^x\right)^y$.

б) $4^{-n} \cdot 4^{2n}$; $\frac{16^{8n}}{16^{2n}}$; $((0,25)^{-3})^n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Для выражения $4^x \cdot 4^y$:
Сначала представим основание 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
Подставим это в исходное выражение: $4^x \cdot 4^y = (2^2)^x \cdot (2^2)^y$.
Используя свойство возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$, получаем: $2^{2x} \cdot 2^{2y}$.
Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), складываем показатели: $2^{2x} \cdot 2^{2y} = 2^{2x+2y}$.
Ответ: $2^{2x+2y}$

Для выражения $8^x : 8^y$ (знак ":" обозначает деление):
Представим основание 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
Подставим это в выражение: $8^x : 8^y = (2^3)^x : (2^3)^y$.
По свойству возведения степени в степень: $(2^3)^x = 2^{3x}$ и $(2^3)^y = 2^{3y}$.
Выражение принимает вид: $2^{3x} : 2^{3y}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), вычитаем показатели: $2^{3x - 3y}$.
Ответ: $2^{3x-3y}$

Для выражения $((\frac{1}{4})^x)^y$:
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставим это в выражение: $((2^{-2})^x)^y$.
Используя свойство возведения степени в степень, последовательно перемножаем показатели: $2^{(-2) \cdot x \cdot y} = 2^{-2xy}$.
Ответ: $2^{-2xy}$

б)

Для выражения $4^{-n} \cdot 4^{2n}$:
Представим основание 4 как $2^2$: $4^{-n} \cdot 4^{2n} = (2^2)^{-n} \cdot (2^2)^{2n}$.
Применим свойство возведения степени в степень: $2^{-2n} \cdot 2^{4n}$.
Теперь, по свойству умножения степеней, сложим показатели: $2^{-2n+4n} = 2^{2n}$.
Ответ: $2^{2n}$

Для выражения $\frac{16^{8n}}{16^{2n}}$:
Представим основание 16 как $2^4$: $\frac{(2^4)^{8n}}{(2^4)^{2n}}$.
Применим свойство возведения степени в степень к числителю и знаменателю: $\frac{2^{4 \cdot 8n}}{2^{4 \cdot 2n}} = \frac{2^{32n}}{2^{8n}}$.
По свойству деления степеней, вычтем показатель знаменателя из показателя числителя: $2^{32n-8n} = 2^{24n}$.
Ответ: $2^{24n}$

Для выражения $((0,25)^{-3})^n$:
Представим десятичную дробь 0,25 как степень с основанием 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставим это в исходное выражение: $((2^{-2})^{-3})^n$.
По свойству возведения степени в степень, перемножим все показатели: $2^{(-2) \cdot (-3) \cdot n} = 2^{6n}$.
Ответ: $2^{6n}$