Номер 153, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 153, страница 44.

Условие.

153 Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ и найдите его значение при заданном значении $a$:

a) $\frac{a^{-3} \cdot a^7}{a^6}$, $a = 10$;

б) $\frac{a^{18}}{a^{-10} \cdot a^{31}}$, $a = \frac{1}{5}$;

В) $a^{-14}(a^{-2})^{-5}$, $a = \frac{2}{3}$;

Г) $\frac{1}{a^{-10}} \cdot \frac{1}{a^{12}}$, $a = -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
Чтобы представить выражение в виде степени с основанием $a$, воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сначала упростим числитель дроби:
$a^{-3} \cdot a^7 = a^{-3+7} = a^4$
Теперь разделим полученный результат на знаменатель:
$\frac{a^4}{a^6} = a^{4-6} = a^{-2}$
Таким образом, выражение представлено в виде степени $a^{-2}$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a=10$:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
Ответ: $a^{-2}$; $0,01$.

б)
Сначала представим выражение в виде степени с основанием $a$.
Упростим знаменатель дроби, используя правило умножения степеней:
$a^{-10} \cdot a^{31} = a^{-10+31} = a^{21}$
Теперь разделим числитель на полученный знаменатель, используя правило деления степеней:
$\frac{a^{18}}{a^{21}} = a^{18-21} = a^{-3}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-3}$.
Найдем значение этого выражения при $a=\frac{1}{5}$. Воспользуемся свойством $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 125$
Ответ: $a^{-3}$; $125$.

в)
Для упрощения выражения воспользуемся свойствами: возведение степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) и умножение степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала упростим второй множитель:
$(a^{-2})^{-5} = a^{(-2) \cdot (-5)} = a^{10}$
Теперь выполним умножение:
$a^{-14} \cdot a^{10} = a^{-14+10} = a^{-4}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-4}$.
Найдем значение этого выражения при $a=\frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$
Ответ: $a^{-4}$; $\frac{81}{16}$.

г)
Для упрощения выражения воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и наоборот $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Перепишем дроби в виде степеней:
$\frac{1}{a^{-10}} = a^{10}$
$\frac{1}{a^{12}} = a^{-12}$
Теперь перемножим полученные степени:
$a^{10} \cdot a^{-12} = a^{10+(-12)} = a^{-2}$
Выражение представлено в виде степени $a^{-2}$.
Найдем значение этого выражения при $a=-4$:
$(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $a^{-2}$; $\frac{1}{16}$.