Номер 148, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 148, страница 43.

Условие.

Упростите выражение (148—150).

148 a) $3x^{-3} \cdot 5x^{-5}$;

б) $2m^{-6} \cdot 0,5m^{10}$;

в) $\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}}$;

г) $\frac{12c^{5}}{15c^{-5}}$;

д) $(2b^{-4})^{3}$;

е) $\left(\frac{1}{10}z^{3}\right)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение, мы перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями отдельно. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, при умножении степеней их показатели складываются.
$3x^{-3} \cdot 5x^{-5} = (3 \cdot 5) \cdot (x^{-3} \cdot x^{-5}) = 15 \cdot x^{-3 + (-5)} = 15x^{-8}$.
Ответ: $15x^{-8}$.

б) По аналогии с предыдущим примером, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с основанием $m$.
$2m^{-6} \cdot 0,5m^{10} = (2 \cdot 0,5) \cdot (m^{-6} \cdot m^{10}) = 1 \cdot m^{-6 + 10} = m^4$.
Ответ: $m^4$.

в) Упростим выражение, разделив его на две части: дробь с числовыми коэффициентами и дробь со степенями. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}} = \frac{4}{6} \cdot \frac{a^{-2}}{a^{-3}} = \frac{2}{3} \cdot a^{-2 - (-3)} = \frac{2}{3} \cdot a^{-2+3} = \frac{2}{3}a^1 = \frac{2}{3}a$.
Ответ: $\frac{2}{3}a$.

г) Сначала сократим дробь с числовыми коэффициентами, а затем применим правило деления степеней с одинаковым основанием.
$\frac{12c^5}{15c^{-5}} = \frac{12}{15} \cdot \frac{c^5}{c^{-5}} = \frac{4}{5} \cdot c^{5 - (-5)} = \frac{4}{5} \cdot c^{5+5} = \frac{4}{5}c^{10}$.
Ответ: $\frac{4}{5}c^{10}$.

д) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2b^{-4})^3 = 2^3 \cdot (b^{-4})^3 = 8 \cdot b^{-4 \cdot 3} = 8b^{-12}$.
Ответ: $8b^{-12}$.

е) Здесь мы применяем те же свойства, что и в предыдущем пункте. Для коэффициента используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{10}z^3)^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} \cdot (z^3)^{-2} = (\frac{10}{1})^2 \cdot z^{3 \cdot (-2)} = 10^2 \cdot z^{-6} = 100z^{-6}$.
Ответ: $100z^{-6}$.