Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

145 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Представьте выражение в виде степени:

а) $b^{-3} \cdot b^{-7}$;В) $\frac{m^8}{m^{12}}$;Д) $(y^{-4})^2$;Ж) $x^{-7} \cdot y^7$;

б) $x^{12} \cdot x^{-3} \cdot x^{-10}$;Г) $a^{-4} : a^{-3}$;е) $(c^3)^{-5}$;З) $\frac{n^{-4}}{m^{-4}}$.

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Используем правило: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$b^{-3} \cdot b^{-7} = b^{-3 + (-7)} = b^{-10}$

Ответ: $b^{-10}$.

б) При умножении нескольких степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются. Используем правило: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.

$x^{12} \cdot x^{-3} \cdot x^{-10} = x^{12 + (-3) + (-10)} = x^{12 - 3 - 10} = x^{9 - 10} = x^{-1}$

Ответ: $x^{-1}$.

в) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Используем правило: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{m^8}{m^{12}} = m^{8-12} = m^{-4}$

Ответ: $m^{-4}$.

г) Деление степеней с одинаковым основанием выполняется по правилу: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{-4} : a^{-3} = a^{-4 - (-3)} = a^{-4+3} = a^{-1}$

Ответ: $a^{-1}$.

д) Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. Используем правило: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(y^{-4})^2 = y^{-4 \cdot 2} = y^{-8}$

Ответ: $y^{-8}$.

е) При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Используем правило: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(c^3)^{-5} = c^{3 \cdot (-5)} = c^{-15}$

Ответ: $c^{-15}$.

ж) Чтобы умножить степени с разными основаниями, но одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить прежним. Используем правило: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

$x^{-7} \cdot y^{-7} = (xy)^{-7}$

Ответ: $(xy)^{-7}$.

з) Чтобы разделить степени с разными основаниями, но одинаковыми показателями, нужно разделить основания, а показатель степени оставить прежним. Используем правило: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{n^{-4}}{m^{-4}} = (\frac{n}{m})^{-4}$

Ответ: $(\frac{n}{m})^{-4}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (146–147) Найдите значение выражения.

146 а) $ \frac{5^{-4}}{5^{-6}} $;

б) $ 3^{-12} \cdot 3^{10} $;

В) $ (10^{-4})^{-1} $;

Г) $ (8^{-5})^{0} $.

а)

Чтобы найти значение выражения $ \frac{5^{-4}}{5^{-6}} $, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней их показатели вычитаются: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

Применим это правило к данному выражению:

$ \frac{5^{-4}}{5^{-6}} = 5^{-4 - (-6)} = 5^{-4 + 6} = 5^2 $

Вычислим полученное значение:

$ 5^2 = 25 $

Ответ: 25

б)

Чтобы найти значение выражения $ 3^{-12} \cdot 3^{10} $, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.

Применим это правило:

$ 3^{-12} \cdot 3^{10} = 3^{-12 + 10} = 3^{-2} $

Далее используем определение степени с отрицательным показателем: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $

Ответ: $ \frac{1}{9} $

в)

Чтобы найти значение выражения $ (10^{-4})^{-1} $, воспользуемся свойством возведения степени в степень. Согласно этому свойству, показатели степеней перемножаются: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Применим это правило:

$ (10^{-4})^{-1} = 10^{(-4) \cdot (-1)} = 10^4 $

Вычислим полученное значение:

$ 10^4 = 10000 $

Ответ: 10000

г)

Чтобы найти значение выражения $ (8^{-5})^0 $, воспользуемся свойством возведения в нулевую степень. Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице: $ a^0 = 1 $ (при $ a \neq 0 $).

Основание степени $ 8^{-5} $ отлично от нуля, поэтому:

$ (8^{-5})^0 = 1 $

Альтернативно, можно сначала применить правило возведения степени в степень:

$ (8^{-5})^0 = 8^{-5 \cdot 0} = 8^0 = 1 $

Ответ: 1

147. а) $ (\frac{3}{7})^3 \cdot 7^3 $;

б) $ \frac{6^2}{24^2} $;

В) $ 3^{-4} \cdot (\frac{2}{3})^{-4} $;

Г) $ \frac{10^{-6}}{5^{-6}} $.

а) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$(\frac{3}{7})^3 \cdot 7^3 = (\frac{3}{7} \cdot 7)^3$
Выполним умножение в скобках:
$\frac{3}{7} \cdot 7 = 3$
Теперь возведем результат в степень:
$3^3 = 27$
Ответ: 27

б) Для решения этого примера используем свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Применим свойство к дроби:
$\frac{6^2}{24^2} = (\frac{6}{24})^2$
Сократим дробь в скобках:
$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
Возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$

в) Здесь мы снова применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Показатели степеней равны -4.
$3^{-4} \cdot (\frac{2}{3})^{-4} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-4}$
Упростим выражение в скобках:
$3 \cdot \frac{2}{3} = 2$
Получаем выражение $2^{-4}$. Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$

г) Применим свойство частного степеней с одинаковыми показателями: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{10^{-6}}{5^{-6}} = (\frac{10}{5})^{-6}$
Вычислим частное в скобках:
$\frac{10}{5} = 2$
Получаем выражение $2^{-6}$. По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
Ответ: $\frac{1}{64}$

Упростите выражение (148—150).

148 a) $3x^{-3} \cdot 5x^{-5}$;

б) $2m^{-6} \cdot 0,5m^{10}$;

в) $\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}}$;

г) $\frac{12c^{5}}{15c^{-5}}$;

д) $(2b^{-4})^{3}$;

е) $\left(\frac{1}{10}z^{3}\right)^{-2}$.

а) Чтобы упростить выражение, мы перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями отдельно. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, при умножении степеней их показатели складываются.
$3x^{-3} \cdot 5x^{-5} = (3 \cdot 5) \cdot (x^{-3} \cdot x^{-5}) = 15 \cdot x^{-3 + (-5)} = 15x^{-8}$.
Ответ: $15x^{-8}$.

б) По аналогии с предыдущим примером, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с основанием $m$.
$2m^{-6} \cdot 0,5m^{10} = (2 \cdot 0,5) \cdot (m^{-6} \cdot m^{10}) = 1 \cdot m^{-6 + 10} = m^4$.
Ответ: $m^4$.

в) Упростим выражение, разделив его на две части: дробь с числовыми коэффициентами и дробь со степенями. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{4a^{-2}}{6a^{-3}} = \frac{4}{6} \cdot \frac{a^{-2}}{a^{-3}} = \frac{2}{3} \cdot a^{-2 - (-3)} = \frac{2}{3} \cdot a^{-2+3} = \frac{2}{3}a^1 = \frac{2}{3}a$.
Ответ: $\frac{2}{3}a$.

г) Сначала сократим дробь с числовыми коэффициентами, а затем применим правило деления степеней с одинаковым основанием.
$\frac{12c^5}{15c^{-5}} = \frac{12}{15} \cdot \frac{c^5}{c^{-5}} = \frac{4}{5} \cdot c^{5 - (-5)} = \frac{4}{5} \cdot c^{5+5} = \frac{4}{5}c^{10}$.
Ответ: $\frac{4}{5}c^{10}$.

д) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2b^{-4})^3 = 2^3 \cdot (b^{-4})^3 = 8 \cdot b^{-4 \cdot 3} = 8b^{-12}$.
Ответ: $8b^{-12}$.

е) Здесь мы применяем те же свойства, что и в предыдущем пункте. Для коэффициента используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{10}z^3)^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} \cdot (z^3)^{-2} = (\frac{10}{1})^2 \cdot z^{3 \cdot (-2)} = 10^2 \cdot z^{-6} = 100z^{-6}$.
Ответ: $100z^{-6}$.

149 a) $x^{-2}y \cdot xy^{-2}$;

Б) $bx^{-3} \cdot b^{-1}x^5$;

В) $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c^{-1}$;

Г) $\frac{m^{-2}n^5}{m^{-4}n^{-1}}$;

Д) $\frac{pq^{-2}}{p^3q^3}$;

е) $(a^{-3}b^2)^{-5}$.

а) Чтобы упростить выражение $x^{-2}y \cdot xy^{-2}$, мы сгруппируем переменные с одинаковым основанием и применим свойство степеней при умножении $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^{-2}y \cdot xy^{-2} = (x^{-2} \cdot x^1) \cdot (y^1 \cdot y^{-2}) = x^{-2+1} \cdot y^{1+(-2)} = x^{-1}y^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}y^{-1}$.

б) Чтобы упростить выражение $bx^{-3} \cdot b^{-1}x^5$, мы сгруппируем переменные с одинаковым основанием и воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$bx^{-3} \cdot b^{-1}x^5 = (b^1 \cdot b^{-1}) \cdot (x^{-3} \cdot x^5) = b^{1+(-1)} \cdot x^{-3+5} = b^0 \cdot x^2$.
Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($b^0 = 1$), выражение упрощается до $1 \cdot x^2 = x^2$.
Ответ: $x^2$.

в) Чтобы упростить выражение $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c^{-1}$, мы сгруппируем переменные с одинаковым основанием и применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$abc^{-1} \cdot ab^{-1}c^{-1} = (a^1 \cdot a^1) \cdot (b^1 \cdot b^{-1}) \cdot (c^{-1} \cdot c^{-1}) = a^{1+1} \cdot b^{1+(-1)} \cdot c^{-1+(-1)} = a^2 \cdot b^0 \cdot c^{-2}$.
Так как $b^0 = 1$, выражение упрощается до $a^2 \cdot 1 \cdot c^{-2} = a^2c^{-2}$.
Ответ: $a^2c^{-2}$.

г) Чтобы упростить дробь $\frac{m^{-2}n^5}{m^{-4}n^{-1}}$, мы применим свойство степеней при делении $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой переменной.
$\frac{m^{-2}n^5}{m^{-4}n^{-1}} = \frac{m^{-2}}{m^{-4}} \cdot \frac{n^5}{n^{-1}} = m^{-2-(-4)} \cdot n^{5-(-1)} = m^{-2+4} \cdot n^{5+1} = m^2n^6$.
Ответ: $m^2n^6$.

д) Чтобы упростить дробь $\frac{pq^{-2}}{p^3q^3}$, мы применим свойство степеней при делении $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой переменной. Учтем, что $p = p^1$.
$\frac{p^1q^{-2}}{p^3q^3} = \frac{p^1}{p^3} \cdot \frac{q^{-2}}{q^3} = p^{1-3} \cdot q^{-2-3} = p^{-2}q^{-5}$.
Ответ: $p^{-2}q^{-5}$.

е) Чтобы упростить выражение $(a^{-3}b^2)^{-5}$, мы воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(a^{-3}b^2)^{-5} = (a^{-3})^{-5} \cdot (b^2)^{-5} = a^{-3 \cdot (-5)} \cdot b^{2 \cdot (-5)} = a^{15}b^{-10}$.
Ответ: $a^{15}b^{-10}$.

150 а) $ \frac{x^{-10}x^5}{x^6} $;

б) $ a^8(a^{-4})^3 $;

в) $ (m^{-3}m^8)^{-2} $;

г) $ \left(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}}\right)^4 $;

д) $ \frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}} $;

е) $ (p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2} $;

ж) $ \left(\frac{n^4}{n^{-7}}\right)^{-2} \cdot n^{-5} $;

з) $ (2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2} $;

и) $ \left(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6}\right)^{-1} $.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^{-10}x^5}{x^6}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$x^{-10}x^5 = x^{-10+5} = x^{-5}$
2. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^{-5}}{x^6} = x^{-5-6} = x^{-11}$
Ответ: $x^{-11}$.

б) Чтобы упростить выражение $a^8(a^{-4})^3$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала возведем степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(a^{-4})^3 = a^{-4 \cdot 3} = a^{-12}$
2. Затем умножим результат на $a^8$ по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^8 \cdot a^{-12} = a^{8+(-12)} = a^{8-12} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$.

в) Чтобы упростить выражение $(m^{-3}m^8)^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала выполним действие в скобках, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$m^{-3}m^8 = m^{-3+8} = m^5$
2. Затем возведем результат в степень -2 по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(m^5)^{-2} = m^{5 \cdot (-2)} = m^{-10}$
Ответ: $m^{-10}$.

г) Чтобы упростить выражение $(\frac{y^4}{y^{-1}y^{-2}})^4$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим знаменатель дроби в скобках: $y^{-1}y^{-2} = y^{-1+(-2)} = y^{-3}$.
2. Упростим дробь в скобках, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{y^4}{y^{-3}} = y^{4-(-3)} = y^{4+3} = y^7$
3. Возведем результат в степень 4 по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(y^7)^4 = y^{7 \cdot 4} = y^{28}$
Ответ: $y^{28}$.

д) Чтобы упростить выражение $\frac{(c^7c^{-2})^{-3}}{c^{-8}}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим выражение в скобках в числителе: $c^7c^{-2} = c^{7+(-2)} = c^5$.
2. Возведем полученное выражение в степень -3: $(c^5)^{-3} = c^{5 \cdot (-3)} = c^{-15}$.
3. Разделим результат на знаменатель:
$\frac{c^{-15}}{c^{-8}} = c^{-15-(-8)} = c^{-15+8} = c^{-7}$
Ответ: $c^{-7}$.

е) Чтобы упростить выражение $(p^{-4})^2 \cdot (p^{-3})^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим каждый множитель отдельно по правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(p^{-4})^2 = p^{-4 \cdot 2} = p^{-8}$
$(p^{-3})^{-2} = p^{-3 \cdot (-2)} = p^6$
2. Перемножим полученные выражения:
$p^{-8} \cdot p^6 = p^{-8+6} = p^{-2}$
Ответ: $p^{-2}$.

ж) Чтобы упростить выражение $(\frac{n^4}{n^{-7}})^{-2} \cdot n^{-5}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим дробь в скобках: $\frac{n^4}{n^{-7}} = n^{4-(-7)} = n^{4+7} = n^{11}$.
2. Возведем результат в степень -2: $(n^{11})^{-2} = n^{11 \cdot (-2)} = n^{-22}$.
3. Умножим полученное выражение на $n^{-5}$:
$n^{-22} \cdot n^{-5} = n^{-22+(-5)} = n^{-27}$
Ответ: $n^{-27}$.

з) Чтобы упростить выражение $(2b^{-3} \cdot 5b^2)^{-2}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим выражение в скобках, сгруппировав числовые коэффициенты и переменные:
$(2 \cdot 5) \cdot (b^{-3} \cdot b^2) = 10 \cdot b^{-3+2} = 10b^{-1}$
2. Теперь возведем результат в степень -2, используя правило $(ab)^n=a^nb^n$:
$(10b^{-1})^{-2} = 10^{-2} \cdot (b^{-1})^{-2} = \frac{1}{10^2} \cdot b^{(-1) \cdot (-2)} = \frac{1}{100}b^2$
Ответ: $\frac{1}{100}b^2$.

и) Чтобы упростить выражение $(\frac{3}{x^{-3}} \cdot \frac{x^3}{6})^{-1}$, воспользуемся свойствами степеней.
1. Перемножим дроби внутри скобок:
$\frac{3 \cdot x^3}{x^{-3} \cdot 6}$
2. Упростим числовые коэффициенты и степени с основанием $x$ по отдельности:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{x^3}{x^{-3}} = x^{3-(-3)} = x^{3+3} = x^6$
3. Выражение в скобках равно $\frac{1}{2}x^6$ или $\frac{x^6}{2}$.
4. Возведем результат в степень -1, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{x^6}{2})^{-1} = \frac{2}{x^6}$
Ответ: $\frac{2}{x^6}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (151–155)

151 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5^{-10}}{5^{-3} \cdot 5^{-5}} $;

б) $ \frac{12^3 \cdot 12^{-7}}{12^{-9}} $;

в) $ 10^{-12} \cdot (10^{-5})^{-2} $;

г) $ (3^{-20} \cdot 3^{21})^{-3} $;

д) $ \frac{(7^{-2})^3}{7^{-4}} $;

е) $ \frac{2^{-15}}{(2^5)^{-4}} $.

а) Для нахождения значения выражения используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Сначала упростим знаменатель: $5^{-3} \cdot 5^{-5} = 5^{-3+(-5)} = 5^{-8}$.
Затем выполним деление: $ \frac{5^{-10}}{5^{-8}} = 5^{-10 - (-8)} = 5^{-10+8} = 5^{-2} $.
Вычислим результат: $ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней: $12^{-3} \cdot 12^{-7} = 12^{-3+(-7)} = 12^{-10}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели: $\frac{12^{-10}}{12^{-9}} = 12^{-10 - (-9)} = 12^{-10+9} = 12^{-1}$.
Вычислим результат: $12^{-1} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

в) При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
Упростим второй множитель: $(10^{-5})^{-2} = 10^{-5 \cdot (-2)} = 10^{10}$.
Теперь перемножим степени, сложив их показатели: $10^{-12} \cdot 10^{10} = 10^{-12+10} = 10^{-2}$.
Вычислим результат: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

г) Сначала выполним операцию в скобках, сложив показатели степеней: $3^{-20} \cdot 3^{21} = 3^{-20+21} = 3^1 = 3$.
Затем возведем результат в степень, перемножив показатели: $(3^1)^{-3} = 3^{1 \cdot (-3)} = 3^{-3}$.
Вычислим результат: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.

д) Сначала упростим числитель, перемножив показатели степеней: $(7^{-2})^3 = 7^{-2 \cdot 3} = 7^{-6}$.
Затем выполним деление, вычитая показатели: $\frac{7^{-6}}{7^{-4}} = 7^{-6 - (-4)} = 7^{-6+4} = 7^{-2}$.
Вычислим результат: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

е) Сначала упростим знаменатель, перемножив показатели степеней: $(2^5)^{-4} = 2^{5 \cdot (-4)} = 2^{-20}$.
Затем выполним деление, вычитая показатели: $\frac{2^{-15}}{2^{-20}} = 2^{-15 - (-20)} = 2^{-15+20} = 2^5$.
Вычислим результат: $2^5 = 32$.
Ответ: $32$.

152 Вычислите:

а) $125 \cdot 5^{-4}$;

б) $100^3 \cdot 10^{-8}$;

в) $16^{-2} : 2^{-5}$;

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$.

а) $125 \cdot 5^{-4}$

Для вычисления данного выражения представим число 125 как степень числа 5. Известно, что $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3 + (-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$.

Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем, согласно свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $100^3 \cdot 10^{-8}$

Представим число 100 как степень числа 10: $100 = 10^2$.

Подставим это значение в выражение и воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $100^3 \cdot 10^{-8} = (10^2)^3 \cdot 10^{-8} = 10^{2 \cdot 3} \cdot 10^{-8} = 10^6 \cdot 10^{-8}$.

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{6 + (-8)} = 10^{6-8} = 10^{-2}$.

Вычислим значение степени с отрицательным показателем: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{100}$.

в) $16^{-2} : 2^{-5}$

Представим число 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

Подставим это значение в выражение и используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $16^{-2} : 2^{-5} = (2^4)^{-2} : 2^{-5} = 2^{4 \cdot (-2)} : 2^{-5} = 2^{-8} : 2^{-5}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$: $2^{-8} : 2^{-5} = 2^{-8 - (-5)} = 2^{-8+5} = 2^{-3}$.

Вычислим значение полученной степени: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) $(27^2 \cdot 3^{-8})^{-1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в выражение в скобках: $27^2 \cdot 3^{-8} = (3^3)^2 \cdot 3^{-8}$.

Возведем степень в степень: $(3^3)^2 \cdot 3^{-8} = 3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{-8} = 3^6 \cdot 3^{-8}$.

Умножим степени с одинаковым основанием: $3^6 \cdot 3^{-8} = 3^{6-8} = 3^{-2}$.

Теперь возведем полученный результат в степень -1, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^{-2})^{-1} = 3^{-2 \cdot (-1)} = 3^2$.

Вычислим итоговое значение: $3^2 = 9$.

Ответ: $9$.