Страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

114 Число представлено в виде суммы разрядных слагаемых. Запишите это число в десятичной форме:

а) $2 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^4 + 1 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0;$

б) $7 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-3};$

в) $5 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3} + 4 \cdot 10^{-4};$

г) $4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^{-3}.$

а) Чтобы записать число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых, в десятичной форме, нужно определить, какую позицию (разряд) занимает каждая цифра. Позиция определяется степенью числа 10, на которое умножается цифра.
В выражении $2 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^4 + 1 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$:
$2 \cdot 10^5 = 200000$ (цифра 2 в разряде сотен тысяч)
$8 \cdot 10^4 = 80000$ (цифра 8 в разряде десятков тысяч)
$1 \cdot 10^3 = 1000$ (цифра 1 в разряде тысяч)
$5 \cdot 10^2 = 500$ (цифра 5 в разряде сотен)
$3 \cdot 10^1 = 30$ (цифра 3 в разряде десятков)
$2 \cdot 10^0 = 2$ (цифра 2 в разряде единиц)
Сложив все значения, получаем: $200000 + 80000 + 1000 + 500 + 30 + 2 = 281532$.
Или, проще говоря, нужно записать коэффициенты при степенях 10 в порядке убывания степеней: 281532.
Ответ: 281532.

б) В данном выражении присутствуют как положительные, так и отрицательные степени 10. Это означает, что число является десятичной дробью, имеющей целую и дробную части. Разделителем целой и дробной части является десятичная запятая.
Выражение: $7 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-3}$.
Слагаемые с неотрицательными степенями формируют целую часть:
$7 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0 = 70 + 2 = 72$.
Слагаемые с отрицательными степенями формируют дробную часть:
$2 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-3} = 0,2 + 0,03 + 0,004 = 0,234$.
Объединив целую и дробную части, получаем: $72 + 0,234 = 72,234$.
Ответ: 72,234.

в) В этом выражении все степени 10 отрицательны. Это означает, что целая часть числа равна нулю.
Выражение: $5 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3} + 4 \cdot 10^{-4}$.
Каждое слагаемое определяет цифру в соответствующем разряде после запятой:
$5 \cdot 10^{-1} = 0,5$ (цифра 5 в разряде десятых)
$2 \cdot 10^{-2} = 0,02$ (цифра 2 в разряде сотых)
$3 \cdot 10^{-3} = 0,003$ (цифра 3 в разряде тысячных)
$4 \cdot 10^{-4} = 0,0004$ (цифра 4 в разряде десятитысячных)
Сумма этих слагаемых дает итоговое число: $0,5 + 0,02 + 0,003 + 0,0004 = 0,5234$.
Ответ: 0,5234.

г) В данной сумме некоторые коэффициенты равны нулю. Это значит, что в соответствующих разрядах итогового числа будут стоять нули.
Выражение: $4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^{-3}$.
Запишем цифры (коэффициенты) в соответствующие разряды, начиная со старшего ($10^2$):
Разряд сотен ($10^2$): 4
Разряд десятков ($10^1$): 0
Разряд единиц ($10^0$): 3
(далее десятичная запятая)
Разряд десятых ($10^{-1}$): 0
Разряд сотых ($10^{-2}$): 2
Разряд тысячных ($10^{-3}$): 5
Собирая эти цифры вместе, получаем число 403,025.
Ответ: 403,025.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (115–116)

115 Представьте члены последовательности в виде степеней с одним и тем же натуральным основанием. Запишите три следующих члена последовательности. Какое число будет стоять в этой последовательности на 100-м месте? на месте с номером $n$?

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, ...

б) $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, ...

в) $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$, ...

г) $3$; $1$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; ...

а) Дана последовательность: $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots $

Знаменатели дробей являются последовательными степенями числа 2: $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$. Следовательно, всю последовательность можно представить в виде степеней с натуральным основанием 2. Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$ \frac{1}{2} = 2^{-1} $

$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $

$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $

$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} $

Закономерность заключается в том, что показатель степени уменьшается на 1 с каждым следующим членом, и для n-го члена он равен $-n$.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $2^{-5} = \frac{1}{32}$

6-й член: $2^{-6} = \frac{1}{64}$

7-й член: $2^{-7} = \frac{1}{128}$

Число на 100-м месте будет равно $2^{-100}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 2^{-n}$ или $a_n = \frac{1}{2^n}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \frac{1}{128}$. На 100-м месте стоит число $2^{-100}$. На месте с номером $n$ стоит число $2^{-n}$.

б) Дана последовательность: $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $

Эту последовательность также можно представить в виде степеней с натуральным основанием 2:

$ 1 = 2^0 $

$ \frac{1}{2} = 2^{-1} $

$ \frac{1}{4} = 2^{-2} $

$ \frac{1}{8} = 2^{-3} $

Здесь показатель степени для n-го члена равен $1-n$. Проверим: для $n=1$ показатель $1-1=0$; для $n=2$ показатель $1-2=-1$, и так далее.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $2^{1-5} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

6-й член: $2^{1-6} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$

7-й член: $2^{1-7} = 2^{-6} = \frac{1}{64}$

Число на 100-м месте будет равно $2^{1-100} = 2^{-99}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 2^{1-n}$ или $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$. На 100-м месте стоит число $2^{-99}$. На месте с номером $n$ стоит число $2^{1-n}$.

в) Дана последовательность: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots $

Знаменатели дробей являются последовательными степенями числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, \dots$. Представим члены последовательности в виде степеней с натуральным основанием 3:

$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $

$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $

Закономерность аналогична пункту а): показатель степени для n-го члена равен $-n$.

Следующие три члена последовательности будут:

4-й член: $3^{-4} = \frac{1}{81}$

5-й член: $3^{-5} = \frac{1}{243}$

6-й член: $3^{-6} = \frac{1}{729}$

Число на 100-м месте будет равно $3^{-100}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 3^{-n}$ или $a_n = \frac{1}{3^n}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}$. На 100-м месте стоит число $3^{-100}$. На месте с номером $n$ стоит число $3^{-n}$.

г) Дана последовательность: $ 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \dots $

Эту последовательность можно представить в виде степеней с натуральным основанием 3:

$ 3 = 3^1 $

$ 1 = 3^0 $

$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $

$ \frac{1}{9} = 3^{-2} $

Здесь показатель степени для n-го члена равен $2-n$. Проверим: для $n=1$ показатель $2-1=1$; для $n=2$ показатель $2-2=0$, и так далее.

Следующие три члена последовательности будут:

5-й член: $3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

6-й член: $3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$

7-й член: $3^{2-7} = 3^{-5} = \frac{1}{243}$

Число на 100-м месте будет равно $3^{2-100} = 3^{-98}$.

Формула для члена последовательности с номером $n$ имеет вид $a_n = 3^{2-n}$ или $a_n = \frac{1}{3^{n-2}}$.

Ответ: Следующие три члена: $\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}$. На 100-м месте стоит число $3^{-98}$. На месте с номером $n$ стоит число $3^{2-n}$.

116 Заполните таблицу. Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо последовательно вычислить значения функций $y=2^x$ и $y=(\frac{1}{2})^x$ для каждого заданного значения аргумента $x$.

Сначала заполним строку для функции $y=2^x$:

• При $x = -6$: $y = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$
• При $x = -5$: $y = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
• При $x = -4$: $y = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
• При $x = -3$: $y = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
• При $x = -2$: $y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
• При $x = -1$: $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
• При $x = 0$: $y = 2^0 = 1$
• При $x = 1$: $y = 2^1 = 2$
• При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$
• При $x = 3$: $y = 2^3 = 8$
• При $x = 4$: $y = 2^4 = 16$
• При $x = 5$: $y = 2^5 = 32$
• При $x = 6$: $y = 2^6 = 64$

Затем заполним строку для функции $y=(\frac{1}{2})^x$:

• При $x = -6$: $y = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 = 64$
• При $x = -5$: $y = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$
• При $x = -4$: $y = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$
• При $x = -3$: $y = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$
• При $x = -2$: $y = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
• При $x = -1$: $y = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$
• При $x = 0$: $y = (\frac{1}{2})^0 = 1$
• При $x = 1$: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
• При $x = 2$: $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
• При $x = 3$: $y = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
• При $x = 4$: $y = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$
• При $x = 5$: $y = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$
• При $x = 6$: $y = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$

Ответ:

Как при заполнении второй строки можно использовать результаты первой?

При заполнении второй строки таблицы, где находится функция $y=(\frac{1}{2})^x$, можно использовать уже вычисленные значения из первой строки для $y=2^x$. Это возможно благодаря свойству степеней.

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{2})^x$. Его можно преобразовать следующим образом:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

Это тождество показывает, что значение функции $y=(\frac{1}{2})^x$ для любого $x$ равно значению функции $y=2^x$ для противоположного аргумента $-x$.

Например:

• Значение $(\frac{1}{2})^x$ при $x=4$ равно $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Это же значение имеет функция $2^x$ при $x=-4$, т.е. $2^{-4} = \frac{1}{16}$.
• Значение $(\frac{1}{2})^x$ при $x=-6$ равно $(\frac{1}{2})^{-6} = 64$. Это же значение имеет функция $2^x$ при $x=6$, т.е. $2^6 = 64$.

Таким образом, для заполнения второй строки можно взять значения из первой строки и записать их в обратном порядке (зеркально отразить относительно столбца $x=0$).

Другой способ использования результатов первой строки заключается в том, что для каждого конкретного значения $x$ значение функции $(\frac{1}{2})^x$ является обратной величиной к значению функции $2^x$.

$(\frac{1}{2})^x = \frac{1^x}{2^x} = \frac{1}{2^x}$

Например, при $x=3$ значение в первой строке $2^3=8$, а во второй — $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Число $\frac{1}{8}$ является обратным к 8.

Ответ: Значения для строки $(\frac{1}{2})^x$ можно получить двумя способами, используя результаты из строки $2^x$:
1. Взять значения из строки $2^x$ и расположить их в зеркальном порядке, так как $(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$.
2. Для каждого столбца $x$ вычислить величину, обратную значению в строке $2^x$, так как $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2^x}$.

117 Представьте дробь в виде произведения:

a) $\frac{a}{b^2};$

Б) $\frac{x}{y};$

В) $\frac{1}{xz^3};$

Г) $\frac{2}{3c^2};$

Д) $\frac{m^{-2}}{na^4};$

е) $\frac{pq^2}{m+n};$

Ж) $\frac{5}{y^n};$

З) $\frac{a^k}{n^l}.$

а)

Чтобы представить дробь $\frac{a}{b^2}$ в виде произведения, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.
Дробь можно записать как произведение числителя на обратное к знаменателю число: $\frac{a}{b^2} = a \cdot \frac{1}{b^2}$.
Применив указанное свойство, получаем: $a \cdot b^{-2}$.

Ответ: $ab^{-2}$

б)

Аналогично, представим дробь $\frac{x}{y}$ в виде произведения. Учитывая, что $y=y^1$, получаем:
$\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y} = x \cdot \frac{1}{y^1}$.
Используя свойство $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$, имеем: $x \cdot y^{-1}$.

Ответ: $xy^{-1}$

в)

Чтобы представить дробь $\frac{1}{xz^3}$ в виде произведения, применим свойство отрицательной степени к каждому множителю в знаменателе.
$\frac{1}{xz^3} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{z^3}$.
Это равносильно произведению: $x^{-1} \cdot z^{-3}$.

Ответ: $x^{-1}z^{-3}$

г)

Дробь $\frac{2}{3c^2}$ можно представить как произведение числителя и множителей, обратных множителям знаменателя.
$\frac{2}{3c^2} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{c^2}$.
Применяя свойство отрицательной степени, получаем: $2 \cdot 3^{-1} \cdot c^{-2}$.

Ответ: $2 \cdot 3^{-1}c^{-2}$

д)

Для дроби $\frac{m^{-2}}{na^4}$ мы оставляем числитель $m^{-2}$ как есть и представляем знаменатель в виде множителей с отрицательной степенью.
$\frac{m^{-2}}{na^4} = m^{-2} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{a^4}$.
В результате получаем произведение: $m^{-2} \cdot n^{-1} \cdot a^{-4}$.

Ответ: $m^{-2}n^{-1}a^{-4}$

е)

В дроби $\frac{pq^2}{m+n}$ знаменатель $(m+n)$ рассматривается как единое целое.
$\frac{pq^2}{m+n} = pq^2 \cdot \frac{1}{m+n}$.
Применяя свойство отрицательной степени ко всему знаменателю, получаем: $pq^2 \cdot (m+n)^{-1}$.

Ответ: $pq^2(m+n)^{-1}$

ж)

Представим дробь $\frac{5}{y^n}$ в виде произведения, используя свойство отрицательной степени.
$\frac{5}{y^n} = 5 \cdot \frac{1}{y^n}$.
Это дает нам произведение: $5 \cdot y^{-n}$.

Ответ: $5y^{-n}$

з)

Для дроби $\frac{a^k}{n^l}$ переносим знаменатель $n^l$ в числитель, изменяя знак его степени на противоположный.
$\frac{a^k}{n^l} = a^k \cdot \frac{1}{n^l}$.
В результате получаем произведение: $a^k \cdot n^{-l}$.

Ответ: $a^kn^{-l}$

118 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $\frac{1}{2^{-3}}=2^3;$

б) $\frac{1}{a^{-4}}=a^4;$

в) $\frac{a}{b^{-2}}=ab^2.$

а) Чтобы доказать равенство $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3$, мы используем определение степени с отрицательным целым показателем. Согласно этому определению, для любого ненулевого числа $x$ и целого числа $n$, выполняется равенство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\frac{1}{2^{-3}}$.

Преобразуем знаменатель $2^{-3}$ с помощью указанного правила:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{2^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{2^3}}$

Деление числа на дробь эквивалентно умножению этого числа на дробь, обратную делителю (перевернутую). В нашем случае, мы делим 1 на дробь $\frac{1}{2^3}$.

$\frac{1}{\frac{1}{2^3}} = 1 \cdot \frac{2^3}{1} = 2^3$

В результате мы получили, что левая часть равенства равна $2^3$, что полностью совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равенства $\frac{1}{a^{-4}} = a^4$ (при условии $a \neq 0$) мы используем то же свойство степени с отрицательным показателем, что и в предыдущем пункте: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала рассмотрим знаменатель $a^{-4}$:

$a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{a^{-4}} = \frac{1}{\frac{1}{a^4}}$

Как и в предыдущем примере, деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$1 \cdot \frac{a^4}{1} = a^4$

Таким образом, мы показали, что левая часть $\frac{1}{a^{-4}}$ равна $a^4$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать равенство $\frac{a}{b^{-2}} = ab^2$ (при условии $b \neq 0$), преобразуем его левую часть.

Запишем дробь $\frac{a}{b^{-2}}$ в виде произведения:

$\frac{a}{b^{-2}} = a \cdot \frac{1}{b^{-2}}$

Теперь рассмотрим множитель $\frac{1}{b^{-2}}$. Основываясь на свойстве $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, которое следует из основного определения степени с отрицательным показателем (как было показано в пунктах а и б), мы можем упростить этот множитель.

Применим это свойство для $x=b$ и $n=2$:

$\frac{1}{b^{-2}} = b^2$

Подставим полученный результат $b^2$ обратно в наше произведение:

$a \cdot b^2 = ab^2$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Доказано.

119 Запишите выражение, равное данному и не содержащее отрицательных показателей:

а) $\frac{2}{3^{-17}}$

в) $\frac{m}{np^{-2}}$

д) $\frac{xy}{z^{-1}}$

б) $\frac{a^{-2}}{b^{-3}}$

г) $\frac{ab}{(a+b)^{-2}}$

е) $\frac{z}{x^n y^{-k}}$

а) Для преобразования выражения используется свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$. Применяя это свойство к знаменателю дроби, получаем:

$\frac{2}{3^{-17}} = 2 \cdot 3^{17}$

Ответ: $2 \cdot 3^{17}$

б) В этом выражении необходимо избавиться от отрицательных показателей и в числителе, и в знаменателе. Используем свойства $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $\frac{1}{b^{-m}} = b^m$. Множитель с отрицательным показателем из числителя переходит в знаменатель с положительным показателем, а множитель с отрицательным показателем из знаменателя переходит в числитель с положительным показателем.

$\frac{a^{-2}}{b^{-3}} = \frac{b^3}{a^2}$

Ответ: $\frac{b^3}{a^2}$

в) В знаменателе дроби находится множитель $p^{-2}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя, перенесем этот множитель в числитель, изменив знак показателя на противоположный.

$\frac{m}{np^{-2}} = \frac{m \cdot p^2}{n} = \frac{mp^2}{n}$

Ответ: $\frac{mp^2}{n}$

г) Знаменатель дроби представляет собой выражение $(a+b)^{-2}$. Используя свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, где $x = (a+b)$, перенесем это выражение в числитель, поменяв знак показателя.

$\frac{ab}{(a+b)^{-2}} = ab(a+b)^2$

Ответ: $ab(a+b)^2$

д) В знаменателе находится множитель $z^{-1}$. Применим свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, где $a=z$ и $n=1$.

$\frac{xy}{z^{-1}} = xy \cdot z^1 = xyz$

Ответ: $xyz$

е) В знаменателе дроби содержится множитель $y^{-k}$ с отрицательным показателем (предполагая, что $k>0$). Перенесем его в числитель, изменив знак показателя на положительный. Множитель $x^n$ остается в знаменателе, так как его показатель не является отрицательным.

$\frac{z}{x^n y^{-k}} = \frac{z \cdot y^k}{x^n}$

Ответ: $\frac{zy^k}{x^n}$