Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

105 ИССЛЕДУЕМ

а) $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right)$;

б) $\frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)$;

в) $\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)$;

г) $\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$.

Составьте ещё несколько таких же равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

а) $\frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25}$;

б) $\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)}$.

Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Совпали ли ваши результаты?

1) Проверка равенств:

а) Проверим равенство $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $.
Так как $ \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $, равенство верно.

б) Проверим равенство $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{24} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{12} - \frac{2}{12}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.
Так как $ \frac{1}{24} = \frac{1}{24} $, равенство верно.

в) Проверим равенство $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15} $.
Так как $ \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $, равенство верно.

г) Проверим равенство $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $.
Левая часть: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{35} $.
Правая часть: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} = \frac{1}{35} $.
Так как $ \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $, равенство верно.

Составим еще несколько таких же равенств, следуя замеченной закономерности (знаменатель является произведением двух чисел, разность которых равна 2):
$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{6} - \frac{1}{8}) $
$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) $

Запишем соответствующее буквенное равенство. Пусть знаменатель дроби представлен в виде произведения $ n \cdot (n+2) $. Тогда равенство можно записать в виде:
$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $
Докажем его. Преобразуем правую часть равенства:
$ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+2-n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $
Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.

2) Применение доказанного равенства для упрощения выражений:

а) $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{23 \cdot 25} $
Применим доказанную формулу к каждому слагаемому:
$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) $
$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) $
$ \dots $
$ \frac{1}{23 \cdot 25} = \frac{1}{2}(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}) $
Сумма примет вид:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right) \right) $
Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (так называемая "телескопическая сумма"):
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{23} - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{25} \right) $
Вычислим значение в скобках:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{25-3}{75} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{75} = \frac{11}{75} $
Ответ: $ \frac{11}{75} $

б) $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(a+100)} $
Аналогично пункту а), применим формулу $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) $ к каждому слагаемому и вынесем $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100}\right) \right) $
Промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \dots + \frac{1}{a+98} - \frac{1}{a+100} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+100} \right) $
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{a+100}{a(a+100)} - \frac{a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{a+100-a}{a(a+100)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{a(a+100)} = \frac{50}{a(a+100)} $
Ответ: $ \frac{50}{a(a+100)} $

Упрощение выражений другим способом (последовательное сложение):

Для выражения а): Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} = \frac{7+3}{105} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} $. Этот результат можно представить как $ \frac{2}{3 \cdot 7} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{21} + \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{2}{21} + \frac{1}{63} = \frac{6+1}{63} = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} $. Этот результат можно представить как $ \frac{3}{3 \cdot 9} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{3 \cdot (2k+3)} $. В нашем выражении всего 11 слагаемых (от $ n=3 $ до $ n=23 $, т.е. $ (23-3)/2 + 1 = 11 $). Подставим $ k=11 $: $ \frac{11}{3 \cdot (2 \cdot 11 + 3)} = \frac{11}{3 \cdot 25} = \frac{11}{75} $. Результат совпал с полученным ранее.

Для выражения б): Сложим первые два слагаемых: $ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} = \frac{a+4+a}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2a+4}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2(a+2)}{a(a+2)(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)} $. Добавим третье слагаемое: $ \frac{2}{a(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} = \frac{2(a+6)+a}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3a+12}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3(a+4)}{a(a+4)(a+6)} = \frac{3}{a(a+6)} $. Заметна закономерность: сумма $k$ первых слагаемых равна $ \frac{k}{a(a+2k)} $. В нашем выражении последовательность знаменателей от $ a(a+2) $ до $ (a+98)(a+100) $. Число слагаемых $ k $ можно найти из условия $ a+2k = a+100 $, откуда $ 2k=100 $ и $ k=50 $. Подставим $ k=50 $ в выведенную формулу: $ \frac{50}{a(a+2 \cdot 50)} = \frac{50}{a(a+100)} $. Результат совпал с полученным ранее.

Вывод: результаты, полученные двумя способами, совпали.